2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题

这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题，共10页。
题型一 分离参数求参数范围
例1 已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；
(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝0时，函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值．
即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极小值为0，无极大值．
(2)因为f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，
所以ex－x2－ax－1≤0在[0，＋∞)上有解，
当x＝0时，不等式成立，此时a∈R，
当x>0时，不等式等价于a≥eq \f(ex,x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))在(0，＋∞)上有解，
令g(x)＝eq \f(ex,x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))，
则g′(x)＝eq \f(exx－1,x2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－1,x2)))＝eq \f(x－1[ex－x＋1],x2)，
由(1)知当a＝1时，f(x)>f(0)＝0，
即ex－(x＋1)>0，
所以当00时，f′(x)0)，即a≤eq \f(ln x,x2)(x>0)，
则问题转化为a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x2)))max(x>0)，
令h(x)＝eq \f(ln x,x2)，x>0，
h′(x)＝eq \f(x－2xln x,x4)＝eq \f(1－2ln x,x3)，
当0eq \r(e)时，h′(x)0)，
①当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)>0，得x>eq \f(1,a)，令f′(x)0，可得e≤xg(e)＝0，与题意不符，
综上，实数m的取值范围为m≤1.
思维升华 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
跟踪训练2 (2023·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其导函数，其中a∈R.
(1)若f(x)在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝ex＋eq \f(a,x)，
因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以f′(x)＝ex＋eq \f(a,x)≤0在(－∞，0)上恒成立，
即a≥－x·ex在(－∞，0)上恒成立，
令g(x)＝－x·ex(x