2022届上海市上海中学高三下学期高考模拟3数学试题含解析

2022届上海市上海中学高三下学期高考模拟3数学试题

一、填空题

1．已知集合,集合,则______

【答案】

【分析】解绝对值不等式求得集合，再求得.

【详解】由，得或，即或.所以或，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查补集的概念和运算，属于基础题.

2．在的展开式中，各项系数之和为__________.

【答案】1

【详解】令，即得各项系数的和.

【解析】赋值法.

3．写出系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是______.

【答案】

【分析】根据系数矩阵为求解.

【详解】由题意得：线性方程组是，

解得，

故所求的一个线性方程组是，

故答案为：

4．已知函数的最小正周期是，则______.

【答案】4

【分析】根据三角恒等变换化简三角函数，然后利用周期计算公式列方程，解方程即可求值

【详解】，

所以最小正周期是，所以.

故答案为：4

5．若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是，则（其中是虚数单位，）的值是_______________．

【答案】2

【详解】试题分析：由已知条件得，

即，

从而有，

故，

故答案为2．

【解析】1．行列式；2．复数的模．

6．函数的值域为___________

【答案】

【分析】先利用配方可得到然后利用对数函数的性质即可求解

【详解】因为

所以根据对数函数的性质可得，

可知函数的值域为．

故答案为：

7．某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中随机选出2名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为______.

【答案】##0.7

【分析】得出这次竞赛中该班没有同学参加市级比赛的概率，即只从除甲、乙两名同学外的三名同学中选两个的概率，在根据互斥事件的概率计算即可得出答案.

【详解】在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为.

故答案为：0.7

8．在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A的大小是______.

【答案】##

【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.

【详解】由，即，故

则，

可得，解得，

因为，所以.

故答案为：.

9．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】分类讨论，根据对数函数单调性，结合恒成立思想解决即可.

【详解】由题意得，，

所以

恒成立，或恒成立，

即，或，

因为无最大值，所以无解；

因为最小值为2，

所以，解得，

综上，.

故答案为：

10．在平面直角坐标系中，动点在椭圆上，点是的中点，过点作直线（和直线不重合）与椭圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为、，且，则的值是______.

【答案】##

【分析】分别设，，，则.将点的坐标分别代入椭圆方程，结合已知，即可推得，整理可得，即可求出答案.

【详解】设点，，的坐标为，则点.

则，.

因为点在椭圆上，所以，即.

因为，所以，

所以，，

所以，.

又在椭圆上，

所以有，，

代入有，

展开得，

即，所以，

所以.

所以.

故答案为：.

11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有______项.

【答案】89

【分析】根据题意分析可得数列要想项数最少，需要各项最大，可设这个“好数列”为：，求这个“好数列”各项之和为，令得，此时，将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，由此即可求解.

【详解】由题意得数列要想项数最少，需要各项最大；

又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，

所以需要数列前面递增，后面对称递减，

又各项之和是2021，中间可能存在相等的项，

设除去相等项后的各项为，

令各项和

，得，

当为44时，项数为项，，

将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，

故这个数列至少有项，

故答案为：89

【点睛】本题考查数列新定义和等差数列求和，关键在于理解数列新定义中各项数的特点，严格按照运用定义进行求和和数列的项的探索，属于中档题.

12．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】对参数进行分类讨论，结合二次函数的最值，由已知条件，求得不同情况下对应的参数范围，再求并集即可.

【详解】分情况进行讨论：

当时，，

时在取得最小值，

时在时取得最小值2，故，解得，

又因为此时，所以。

当时，

时在之间取得最小值，

时在处取得最小值，故，解得，又因为此时，所以。

当时，，

时在之间取得最小值，而此时，

所以时的最小值为。

又根据二次函数性质，时在处取得最小值，

故，解得或，

而此时，故。

所以实数的取值范围为。

故答案为：

【点睛】本题考查由分段函数的最值，求参数范围，涉及二次函数的最值，注意分类讨论，属综合基础题.

二、单选题

13．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】两点集的交集，即这两条直线的交点.

【详解】

故选：D.

14．数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先证必要性，由“数列为常数列”出发，得出“数列为等差数列”；再证充分性，由“数列为等差数列”，设公差为 ，，得出当 时，数列不是常数列，即可得出答案.

【详解】若数列为常数列，则设 ，所以 ，

于是 ，所以为等差数列；

即“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要条件；

若数列为等差数列，设公差为 ， ，

于是 ， ，

当 时，数列不是常数列，

所以“数列为等差数列”不是“数列为常数列”的充分条件；

综上所述，“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】注意充分性及必要性的证明，利用等差数列，常数列的相关知识，特别是当 时，数列不是常数列.

15．如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】连结、，则有，，根据求解即可.

【详解】解：连结、.

则，.

所以.

.

因为，

所以.

故选：.

16．已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】试题分析：分析题意可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，将其看作点的集合，为中心在原点，，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，D选项分别表示直线，圆，双曲线，与该正方形及其内部无公共点，选项C为抛物线，有公共点，故选C．

【解析】以集合为背景的创新题．

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.

(1)证明：平面

(2)证明：平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由线线平行证线面平行；

（2）由线面垂直证，再证平面、平面平面.

【详解】（1）连接交于点，连接.

因为为中点，为中点，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）因为点在平面内的射影为A，所以平面，

因为平面，所以.

又在正方形中，且，所以平面，

又平面，所以平面平面.

18．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.

（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?

【答案】（1）；（2）分钟

【分析】（1）根据题意得到，，当时，，解得答案.

（2）解不等式得到答案.

【详解】（1）根据题意：，故，，，故.

当时，，即，，故.

.

（2），故，.

解得，解得，

故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.

【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19．已知函数．

（1）写出函数的奇偶性；

（2）当时，是否存在实数，使的图象在函数图象的下方，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）存在，.

【分析】（1）对分和两种情况分类讨论，结合奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；

（2）由题意得出，利用参变量分离法得出，然后利用基本不等式求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称.

当时，，则，

此时，函数是奇函数；

当时，，，则，，此时，函数是非奇非偶函数；

（2）若的图象在函数图象的下方，

则，化简得恒成立，

当时，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.

，因此，当时，函数的图象都在函数图象的下方．

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，同时也考查函数不等式恒成立问题的求解，在含单参数的不等式问题中，可以充分利用参变量分离法，转化为函数最值来求解，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

20．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的右顶点和下顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知是椭圆内一点，直线与的斜率之积为，直线分别交椭圆于两点，记，的面积分别为，.

①若两点关于轴对称，求直线的斜率；

②证明：.

【答案】（1）；（2）①；②详见解析.

【分析】（1）根据短轴长得，再根据离心率以及的关系式可解得，从而可求得椭圆的标准方程；

（2）①设出的斜率，写出的方程与椭圆联立解出的坐标，再根据的斜率关系得的斜率和方程与椭圆联立解出的坐标，根据，关于轴对称，列式可求得；

②用的方程联立解得的坐标，通过两点间的距离算得，只要证明，就可证明.

【详解】（1）椭圆的短轴长为，离心率为，

所以，，

解得.

所以椭圆方程为.

(2)①设直线的斜率为，则直线的方程为，

联立，消去并化简得，

解得，所以.

因为直线的斜率乘积为，所以直线的方程为，

联立，消去并化简得，

解得，所以.

因为关于轴对称，所以，

即，解得.

当时，由，解得，在椭圆外，不满足题意.

所以直线的斜率为.

②由①得，，，

由，解得.

即.

所以，

，

.

同理利用两点间的距离公式求得，

，

所以.

所以，

因为，所以

.

即.

【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积有关问题，考查运算求解能力，属于难题.

21．已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.

分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；

已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；

集合是“独立的”，求证：存在，使得.

【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；

证明见解析；

证明见解析

【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；

（2）根据题意，，，，， ，进而利用反证法求解；

（3）不妨设集合，，且.

记，进而利用反证法求解；

【详解】解:是“关联的”关联子集有;

是“独立的”

记集合的含有四个元素的集合分别为:

，，，，

.

所以，至多有个“关联子集”.

若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则

同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”.

所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.

所以一定不是“关联子集”

同理一定不是“关联子集”.

所以集合的“关联子集”至多为.

若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；

若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；

若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；

所以都是“关联子集”

所以有，即

，即.

，即，

所以.

所以是等差数列.

不妨设集合，，且.

记.

因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.

假设结论错误，即不存在，使得

所以任取，，因为，所以

所以

所以任取，

任取，

所以，且中含有个元素.

(i)若，则必有成立.

因为，所以一定有成立.所以.

所以

，，

所以，所以，有矛盾，

(ii)若，

而中含有个元素，所以

所以，

因为，所以.

因为，所以

所以

所以，矛盾.

所以命题成立.

【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.