2022-2023学年浙江省舟山市定海二中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省舟山市定海二中九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一名射击爱好者次射击的中靶环数如下：，，，，，这个数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕．”伟人毛泽东通过这首满江红和郭沫若同志告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒，努力工作，努力学习．一天时间为秒，用科学记数法表示这一数字是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，的直径垂直弦于点，且，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的底面半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在一张矩形纸片中，，点，分别是和的中点现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为若的延长线恰好经过点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  一个多边形所有内角都是，则这个多边形的边数为______．

13.  在        的横线上添加一个实数，使方程有两个相等的实数根．

14.  如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，使，分别延长、相交于点，则线段的长为______．

15.  如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标为______．

16.  如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点下列结论：；线段的最小值为；当时，与半圆相切；若点恰好落在上，则；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
化简：．

18.  本小题分
老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的同学是______；
请你书写正确的化简过程，并在“，，”中选择一个合适的数代入求值．

19.  本小题分
央视“经曲咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承地方戏曲进校园”的喜爰情况进行了随机调查对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图提供的信息解答下列问题：
图中表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”．

 被调查的总人数是        ，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为        ；
补全条形统计图；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果，估计该校学生中类有        人；
在抽取的类人中，刚好有个女生个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．

20.  本小题分
已知：如图，在▱中，为对角线的中点，过点的直线分别交，于，两点，连接，．
求证：≌．
当等于多少度时，四边形为菱形？请说明理由．

21.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下
测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．
求的长；
求楼与之间的距离的长．
参考数据：，，，．

22.  本小题分
某文具店最近有，两款纪念册比较畅销．该店购进款纪念册本和款纪念册本共需元，购进款纪念册本和款纪念册本共需元．在销售中发现：款纪念册售价为元本时，每天的销售量为本，每降低元可多售出本；款纪念册售价为元本时，每天的销售量为本，款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

求，两款纪念册每本的进价分别为多少元；
该店准备降低每本款纪念册的利润，同时提高每本款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设款纪念册每本降价元；
直接写出款纪念册每天的销售量用含的代数式表示；
当款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

23.  本小题分
已知抛物线，
Ⅰ若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
Ⅱ若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
Ⅲ若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

24.  本小题分
如图，已知为锐角内部一点，过点作于点，于点，以为直径作，交直线于点，连接，，交于点．
求证：．
连接，，当，时，在点的整个运动过程中．
若，求的长．
若为等腰三角形，求所有满足条件的的长．
连接，，交于点，当，时，记的面积为，的面积为，请写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据中位数的概念求解．
【解答】
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：将数用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
为直径，，
．
故选：．
根据，，得出半径为，在直角中，由勾股定理得，根据垂径定理得出的长．
本题考查了圆周角定理、勾股定理和垂径定理，利用垂径定理得出是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，故此选项运算错误；
B、，故此选项运算错误；
C、，故此选项运算错误；
D、，故此选项运算正确．
故选：．
分别根据合并同类项、积的乘法、同底数幂的乘除法法则进行计算，即可得出结论．
此题考查了合并同类项、积的乘方以及同底数幂的乘除法，掌握相关运算的运算法则并能准确运用其求解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将沿方向平移得到，
，
的周长为，
的周长为，
四边形的周长，
，
，
四边形的周长，
故答案为：．
根据平移的性质即可得到四边形的周长．
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．
正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
半径为的半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是，然后利用弧长公式计算．
【解答】
解：设圆锥的底面半径是，半径为的半圆的弧长是，
则得到，
解得：，
这个圆锥的底面半径是．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：设，
，分别是和的中点，
，
现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，
，，
的延长线恰好经过点，
，
在中，，，
根据勾股定理得，
，，
，
∽，
，
即，
解得：．
故选：．
设，因为折叠，利用勾股定理用表示出的长，再利用两对应角相等判定出∽，利用相似三角形对应边成比例，求出的长．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质，证明相似三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数对称轴为直线，
时，取得最大值，，
解得，不合题意，舍去；
时，取得最大值，，
解得，
不满足的范围，
；
时，取得最大值，，
解得．
综上所述，或时，二次函数有最大值．
故选：．
求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式分解因式即可．
此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：所有内角都是，
每一个外角的度数是，
多边形的外角和为，
，
即这个多边形是八边形．
故答案为：．
先求出每一外角的度数是，然后用多边形的外角和为进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
 

13.【答案】 

【解析】解：要使方程有两个相等的实数根，
则，
解得：．
故答案为：．
利用一元二次方程根的判别式即可求出的值，得到答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握根与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
∽，
，
，
解得，
．
故答案为：．
利用平行线的性质以及旋转的性质得出∽，再利用相似三角形的性质得出的长，进而得出的长．
此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出∽是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图作轴交轴于，作轴交轴于交轴于．

，，，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
故答案为
如图作轴交轴于，作轴交轴于交轴于利用全等三角形的性质，平行四边形的性质求出、即可；
本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示．
点与点关于对称，
．
．
，
．
，．
．
．
．
结论“”正确．

当时，如图所示．
是半圆的直径，
．
，，
，，．
，，
．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点在线段上运动时，的最小值为．
，
．
线段的最小值为．
结论“线段的最小值为”错误．

当时，连接，如图所示．
，，
是等边三角形．
，．
，，
．
．
．
点与点关于对称，
．
．
．
．
经过半径的外端，且，
与半圆相切．
结论“与半圆相切”正确．

当点恰好落在上时，连接、，如图所示．
点与点关于对称，
．
．
．
．
∽．
．
，
．
．
，
．
．
．
．
是半圆的直径，
．
．
．
．
．
结论“”错误．

点与点关于对称，
点与点关于对称，
当点从点运动到点时，
点的运动路径与关于对称，
点的运动路径与关于对称．
扫过的图形就是图中阴影部分．




．
扫过的面积为．
结论“扫过的面积为”正确．
故答案为：、、．
由点与点关于对称可得，再根据即可证到．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值．
连接，易证是等边三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”可求出，进而可求出，从而得到与半圆相切．
利用相似三角形的判定与性质可证到是等边三角形，只需求出就可求出，进而求出长．
首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积．
本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】实数的运算，灵活运用运算律和运算法则，把代入进行计算得出结果即可；
根据整式的运算规律，完全平方公式及其变形公式化简即可．
本题考查了实数运算和整式运算，灵活运用运算律和运算法则，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键．
 

18.【答案】解：接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲，
故答案为：甲；



，
，，
，，
当时，原式． 

【解析】

【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
利用异分母分式加减法法则先算括号里，再算括号外，然后根据分式有意义的条件对取值并代入化简后的式子进行计算即可解答．  

19.【答案】     

【解析】解：被调查的总人数为人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：、；
类别人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生中类有人，
故答案为：；
列表如下：

所有等可能的结果为种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为，
被抽到的两个学生性别相同的概率为．
由类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以部分人数所占比例可得；
总人数减去其他类别人数求得的人数，据此即可补全条形图；
用总人数乘以样本中类别人数所占百分比可得；
用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
 

20.【答案】证明：在▱中，为对角线的中点，
，，
在和中
，
≌；

解：当时，四边形为菱形，
理由：≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形为菱形． 

【解析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出≌；
首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
；
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，
再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设款纪念册每本的进价为元，款纪念册每本的进价为元，
根据题意得：，
解得，
答：款纪念册每本的进价为元，款纪念册每本的进价为元；
根据题意，款纪念册每本降价元，可多售出本款纪念册，
两款纪念册每天销售总数不变，
款纪念册每天的销售量为本；
设款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是，
根据表格可得：，
解得，
，
当时，，
即款纪念册每天的销售量为本时，每本售价是元，
设该店每天所获利润是元，
由已知可得，
，
时，取最大值，最大值为元，
此时款纪念册售价为元，
答：当款纪念册售价为元时，该店每天所获利润最大，最大利润是元． 

【解析】设款纪念册每本的进价为元，款纪念册每本的进价为元，根据购进款纪念册本和款纪念册本共需元，购进款纪念册本和款纪念册本共需元得，可解得款纪念册每本的进价为元，款纪念册每本的进价为元；
根据两款纪念册每天销售总数不变，可得款纪念册每天的销售量为本；
设款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是，待定系数法可得，即可得款纪念册每天的销售量为本时，每本售价是元，设该店每天所获利润是元，则，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函数关系式．
 

23.【答案】解：Ⅰ当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
该抛物线与轴公共点的坐标是和；
Ⅱ当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式，有．
当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点；
当时，时，；
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有即，
解得．
综上，或．
Ⅲ对于二次函数，
由已知时，；
时，，
又，
．
．
，
，即．
．
关于的一元二次方程的判别式，
抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
．
又由已知时，；
时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 

【解析】Ⅰ把，，的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
Ⅱ把，代入解析式可得，等于时可直接求得的值；求出的相应的值后可得的取值范围；
Ⅲ抛物线与轴公共点的个数就是一元二次方程的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与轴的交点的纵坐标为；抛物线与轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．
 

24.【答案】解：、，
，
，
又，
；

如图，

，，
，
，
，
，
，
；
当时，，
，
，
，
，
；
当时，，
、，
，
，
过点作于点，得四边形是矩形，

、，
，
；
当时，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
综上所述，当、或时，为等腰三角形；

如图，过点作于点，

，
，
设、，
则、、，
且，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
即、，
则，
∽，
，即，
则，，
且，
为的中位线，
，
． 

【解析】由、知，据此得，根据即可得证；
由、知，根据知，据此可得答案；根据等腰三角形的定义分、及三种情况分类讨论求解可得；
作，由知，据此设、，从而得出、、，证∽得，据此得出及、、，再证∽，
得，据此求得、，证为的中位线知，从而依据可得答案．
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理及三角函数的应用等知识点．