高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算巩固练习

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新人教A版高中数学必修第二册课本教材目录第六章 平面向量及其应用6.1平面向量的概念   6.2平面向量的运算   6.3平面向量基本定理及坐标表示  6.4平面向量的应用第七章 复数7.1复数的概念       7.2复数的四则运算   7.3复数的三角表示第八章 立体几何初步8.1简单的立体图形   8.2立体图形的直观图  8.3简单几何体的表面积与体积8.4空间点、直线、平面之间的位置关系      8.5空间直线、平面的平行     8.6空间直线、平面的垂直第九章 统计9.1随机抽样         9.2用样本估计总体      9.3统计分析案例 公司员工的肥胖情况调查分析 6.2.2  平面向量的数量积(精练)【题组一 向量的数量积】1．(2020·天水市第一中学高一期末)已知等边的边长为2，若，，则等于(    )A． B． C．2 D．【答案】D【解析】等边△ABC的边长为2，，，∴，，∴，，．故选：D．2．(2020·陕西渭南市·高一期末)在中，为线段的中点，，，则(    )A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】在中，为线段的中点，可得，,.故选：B.3．(2020·湖南益阳市·高一期末)在中，，，为的重心，则________．【答案】6【解析】如图，点是的中点，为的重心，，，所以 故答案为：64．(2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末)如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.【答案】【解析】因为，，因此，故答案为：.5．(2020·四川内江市)在等腰中，斜边，，，，那么_____.【答案】【解析】由题可知在等腰中，斜边，，，即，，.故答案为：.6．(2020·北京101中学高一期末)如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是______.【答案】【解析】∵，，∴，，∴，故答案为：.7．(2020·陕西咸阳市·高一期末)已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.【答案】1【解析】两个单位向量，的夹角为，，又，，，解得．故答案为：1．8．(2020·长沙县实验中学高一期末)已知非零向量，满足=，，.若⊥，则实数的值为_____________.【答案】【解析】非零向量，满足=，，,⊥,,解得，故答案为：【题组二 向量的夹角】1．(2020·山东临沂市·高一期末)已知非零向量，，若，且，则与的夹角为(     )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以， .故选:B.2．(2020·镇原中学高一期末)已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.【答案】或【解析】由，可得，则.由为单位向量，得，则，即，解得或.3．(2020·浙江温州市·高一期末)已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.【答案】【解析】平面向,满足,则因为展开化简可得,因为,代入化简可得设与的夹角为则由上式可得而代入上式化简可得令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得,而所以由余弦函数的值域可得,即将不等式化简可得,解不等式可得 综上可得,即而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,则 当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大所以当时, 的值最小代入可得所以与夹角余弦值的最小值等于故答案为: 4．(2020·延安市第一中学高一月考)已知向量满足.(1)求在上的投影；(2)求与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，设和的夹角为，在上的投影为：；(2)设与夹角为，.5．(2020·北京顺义区·高一期末)已知平面向量，，，，且与的夹角为．(1)求；(2)求；(3)若与垂直，求的值．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)；(2)，；(3)，，即，解得：.6．(2020·南昌市·江西师大附中高一月考)已知向量满足，(1)若，求实数的值；(2)求向量与夹角的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，，所以，则与同向.因为，所以，即，整理得，解得，所以当时，.(2)设的夹角为，则，当，即时，取最小值， 又，所以，即向量与夹角的最大值为.7．(2020·全国高一专题练习)已知向量，且，与的夹角为.，.(1)求证：；(2)若，求的值；(3)若，求的值；(4)若与的夹角为，求的值.【答案】(1)见解析(2)或.(3)(4)【解析】(1)证明：因为，与的夹角为，所以，所以.(2)由得，即.因为，，所以，，所以，即.所以或.(3)由知，即，即.因为，，所以，，所以.所以.(4)由前面解答知，，.而，所以.因为，由得，化简得，所以或.经检验知不成立，故.【题组三 向量的投影】1．(2021·江西上饶市)若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为()A． B． C．-1 D．【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.2．(2020·沈阳市第一七〇中学高一期末)已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为(    )A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由题意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)联立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影为.故选：C.3．(2020·长沙市·湖南师大附中高一月考)已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】设两个向量的夹角为，则，从而，因为，故，所以．故选：A．4．(2020·眉山市彭山区第一中学高一期中)已知，，，则在上的投影是(    )A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因为，，，所以所以在上的投影故选：C5(2020·陕西渭南市·高一期末)已知，，，则向量在向量方向的投影(    )A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由题意，向量，，，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故选：A.6．(2020·四川绵阳市·高一期末)在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为(    )A． B．- C．﹣ D．【答案】D【解析】根据题意，，又点为中点，故可得，如下所示：故三角形为等边三角形，故可得，不妨设，故可得，则向量在向量上的投影为.故选：.7．(2020·营口市第二高级中学高一期末)已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.【答案】【解析】向量满足，可得，，即为，，两式相减可得，则向量在向量上的投影为．故答案为：．8．(2020·湖北武汉市·高一期末)设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.【答案】【解析】，，，，，向量在向量上的投影的数量为.故答案为：.9．(2021·河南郑州市)已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.10．(2020·四川高一期末)已知边长为2的等边中，则向量在向量方向上的投影为_____．【答案】【解析】因为是等边三角形，所以向量与向量的夹角为，因为边长为2，所以向量在向量方向上的投影为，故答案为：.11．(2020·全国高一课时练习)已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.【答案】4【解析】为一个单位向量,与的夹角是由平面向量数量积定义可得,根据平面向量投影定义可得,∴.故答案为:412．(2020·福建省福州第一中学高一期末)已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.【答案】【解析】，在方向上的投影为，，，，可得，因此，.故答案为：.【题组四 向量的模长】1．(2020·全国高一)已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则(    )A． B． C． D．3【答案】A【解析】由题意得，，故选：A.2．(2020·全国高一)若向量与的夹角为60°，且 则等于(    )A．37 B．13 C． D．【答案】C【解析】因为向量与的夹角为60°，且 所以所以，故选：C．3．(2020·全国高一开学考试)已知向量，满足，，，则(    )A．0 B．2 C． D．【答案】D【解析】因为向量,满足,,则故选:D4．(2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末)已知向量、满足：，，，则_________.【答案】.【解析】，，，因此，，故答案为.5．(2020·全国高一单元测试)若平面向量，满足，，则__________，__________．【答案】-1    4    【解析】由，得，①由，得，②①-②得：，∴．故．故答案为：①-1；②4.6．(2020·全国高一)已知，，则的最大值为______；若，，且，则______.【答案】14    10    【解析】，当且仅当同向时等号成立，所以，即的最大值为14，由两边平方可得：，所以，所以，即.故答案为：14；107．(2020·东北育才学校)已知向量，满足，在上的投影(正射影的数量)为-2，则的最小值为         【答案】8【解析】因为在上的投影(正射影的数量)为，所以，即，而，所以，因为所以，即，故选D.9．(2020·四川广元市·高一期末)设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为(    )A． B． C． D．1【答案】B【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图 ，，,，，，，，，，，化简得当且仅当时，的最小值为.故选：B.10．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知平面向量、满足，则的最大值为________．【答案】【解析】，则，设与的夹角为，则，，，，可得，，则，所以，，，则，所以，当时，取最大值.故答案为：.11．(2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末)已知向量与向量的夹角为，且，.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)∵，∴，∴，∴.(2)∵，∴，整理得：，解得：或.12．(2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考)已知平面向量满足:，|.(1)若，求的值；(2)设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)若，则，又因为，|，所以，所以；(2)若，则，又因为，，所以即，所以，解得或，所以.13．(2020·全国高一单元测试)已知向量，，，且．(1)求，；(2)求与的夹角及与的夹角．【答案】(1)，；(2)，．【解析】(1)因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；(2)记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【题组五 平面向量的综合运用】1．(2020·北京丰台区·高一期末)，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】A．可能方向不同，故错误；B．，两向量夹角未知，故错误；C．，所以，故错误；D．由C知，故正确，故选：D.2．(2020·全国高一单元测试)若是非零向量，是单位向量，①，②，③，④，⑤，其中正确的有(    )A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②【答案】D【解析】∵，∴，①正确；为单位向量，故，②正确；表示与方向相同的单位向量，不一定与方向相同，故③错误；与不一定共线，故不成立，故④错误，若与垂直，则有，故⑤错误．故选：D.3．(2021·重庆)设为向量，则“”是“” (  )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算， 若，即 = 所以 = 1，即所以若，则的夹角为0°或180°，所以“或即所以“”是“”的充分必要条件所以选C4．(2020·全国高一课时练习)若，，均为单位向量，且，，则的最大值是(    )A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】，，均为单位向量，且，，，设，，得：，，方程有解，，，的最大值为2．故选：A．5．(2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末)已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是(    )A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】由，可得，平方可得．同理可得、，，则、、中最小的值是．故选：．6．(2020·浙江湖州市·高一期末)已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是(    )A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则【答案】B【解析】对于选项，若，则或或，故错误；对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.7．(多选)(2021·江苏高一)若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是(    )A．B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，∴，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选：ACD.8．(多选)(2020·山东临沂市·高一期末)已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是(    )A．B．若且，则C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；对于D，已知，且与的夹角为锐角，可得即可得，解得，当与的夹角为0时，，所以所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:AC.9．(2020·浙江高一期末)已知，，则的最小值为__________.【答案】【解析】，，，代入，原式，当时，原式最小值为.故答案为：10．(2020·湖北高一开学考试)在中，已知，，，则在方向上的投影为__________.【答案】【解析】因为，所以所以，即因为，所以即，即，所以解得或因为，所以，即，所以，因为，所以所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．【答案】        【解析】由题意，平面向量，其中，的夹角是，可得，则，所以，又由，所以当时，的最小值为.故答案为：；.12．(2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末)在中，，，，是中点，在边上，，，则________，的值为________.【答案】        【解析】因为，，，所以，由题意，，所以，所以；由可得，解得.故答案为：；.13．(2020·湖北黄冈市·高一期末)已知向量与向量的夹角为，且，，.(1)求的值(2)记向量与向量的夹角为，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，所以.(2)因为所以所以.14．(2020·山东省五莲县第一中学高一月考)已知，，向量与向量夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.【答案】【解析】∵，，与夹角为45°，∴，而，要使向量与的夹角是锐角，则，且向量与不共线，由得，得或.由向量与不共线得所以的取值范围为：15．(2020·全国高一课时练习)在中，，记，且为正实数)，(1)求证：；(2)将与的数量积表示为关于的函数；(3)求函数的最小值及此时角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)2，.【解析】(1)在中，，可得，所以，所以.(2)由，可得，即，整理得，所以．(3)由(2)知，因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，即，此时，因为，可得，又因为，此时为等边三角形，所以．16．(2020·全国高一单元测试)在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．(1)试用，表示；(2)若，，且，的夹角，试求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)连接AB，则，∵A，B分别是线段CE，ED的中点，∴，则．(2)，将，代入，则．∵，∴，则，故．