人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂检测题

6.2.4  向量的数量积

例9  已知，，与夹角，求．

例10  设，，，求与的夹角．

练习

1. 已知，，和的夹角是60°，求．

2. 已知中，，，当或时，试判断的形状．

3. 已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．

例11  我们知道，对任意，恒有

，．

对任意向量，，是否也有下面类似的结论？

（1）；

（2）．

例12  已知，，与的夹角为60°，求．

例13  已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？

练习

4. 已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：

（1）；

（2）．

5. 已知，，且与互相垂直，求证：.

6. 求证：．

变式练习题

7. 已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：

（1）；

（2）；

（3）．

8. 已知，，，求与的夹角．

9. 已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求：

（1）(＋)·(－)；

（2）|－|．

10. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？

12. 已知，，且与互相垂直，求证：．

13. 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．

14. 设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．

6.2.4  向量的数量积

例9  已知，，与夹角，求．

解：

．

例10  设，，，求与的夹角．

解：由，得

．

因为，所以．

练习

1. 已知，，和的夹角是60°，求．

【答案】24

【解析】

【分析】

由运算即可得解.

【详解】解：．

【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属基础题.

2. 已知中，，，当或时，试判断的形状．

【答案】钝角三角形或直角三角形．

【解析】

【分析】

由平面向量数量积公式，结合向量夹角的余弦值的符号判断即可得解.

【详解】解：当时，有，

即，所以为钝角，为钝角三角形；

当时，有，即，为直角三角形．

故为钝角三角形或直角三角形．

【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.

3. 已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由在上的投影向量为，再将已知条件代入运算即可得解.

【详解】解：当时，在上的投影向量为，

当时，在上的投影向量为，

当时，在上的投影向量为．

【点睛】本题考查了向量的投影的运算，重点考查了运算能力，属基础题.

例11  我们知道，对任意，恒有

，．

对任意向量，，是否也有下面类似的结论？

（1）；

（2）．

解：（1）

；

（2）

．

因此，上述结论是成立的．

例12  已知，，与的夹角为60°，求．

解：

．

例13  已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？

解：与互相垂直的充要条件是

，

．

因为，，

所以．

解得．

也就说，当时，与互相垂直．

练习

4. 已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解；

（2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解.

【详解】解：（1）；

（2）．

【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题.

5. 已知，，且与互相垂直，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据与互相垂直，可得，结合题设条件，即可证明.

【详解】因为与互相垂直，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

因为，是非零向量，

所以.

6. 求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由平面向量的运算性质即可得证.

【详解】证明：由左边右边，

故等式成立．

【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题.

变式练习题

7. 已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；

（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；

（3）因为，所以，再根据即可求出结果.

【小问1详解】

解：因为，，，所以；

【小问2详解】

解：因为，所以或，

当时，；

当时，；

所以的值为或.

【小问3详解】

解：因为，所以，

所以.

8. 已知，，，求与的夹角．

【答案】

【解析】

【分析】利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】因为，所以，

因为，所以.

9. 已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求：

（1）(＋)·(－)；

（2）|－|．

【答案】（1）－5.    （2）.

【解析】

【分析】（1）根据向量的数量积运算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；

（2）根据向量数量积的定义求得，再根据向量数量积的运算律求得|－|2，由此可求得答案.

【小问1详解】

解：因为向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．

【小问2详解】

解：因为向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，所以，

所以 |－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．

10. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.

【详解】由余弦定理可知，

，

，

AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，

是中点，，

由图可知向量在上的投影向量为

，

.

故选：B

【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.

11. 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？

【答案】.

【解析】

【分析】根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.

【详解】因为，， 与的夹角为，

所以，

若，则，

即，所以，

所以，可得：.

12. 已知，，且与互相垂直，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.

【详解】证明：因为与互相垂直，

所以，

即．

又因为，

所以．

因为是非零向量，所以．

13. 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.

【详解】证明：设， ．

因为四边形为菱形，所以，

又

则，故．

所以.

14. 设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．

【答案】2r2

【解析】

【分析】根据数量积公式，结合圆的性质，即可得答案.

【详解】若AB恰为⊙C直径，易知；

若AB不是⊙C直径，则

综上，的最大值为2r2.