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2023年福建省福州市平潭综合实验区中考数学适应性试卷及答案
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这是一份2023年福建省福州市平潭综合实验区中考数学适应性试卷及答案，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市平潭综合实验区2023年中考数学适应性试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在有理数+（﹣2），﹣（﹣3），（﹣1）2023，﹣|﹣2|，0，﹣（+1）中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为（ ）
A．7.062×103 B．70.62×106 C．0.7062×108 D．7.062×107
4．教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．
下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2
C．（﹣ab3）2＝a2b6 D．a6b+a2＝a3b
7．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ）
A．＝+1 B．＝
C．＝﹣1 D．＝
8．10月1日至6日，苏老师手机“微信运动”步数统计如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．10月1日至3日，运动步数逐日增加
B．10月3日运动步数最多
C．10月3日至6日，运动步数逐日减少
D．10月7日运动步数比10月6日少
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个八边形的外角和是 °．
12．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
13．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
14．命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
15．如图，若反比例函数（k≠0）的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积3，则k＝ ．
16．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 （直接填写序号）．
①直线DF是⊙O的切线：
②△DEF是等腰三角形；
③图中共有3个等腰三角形：
④连接OE，则tan∠AEO＝．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
19．（8分）先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
20．（8分）中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宫课”中航天员生动演示了微重力环境下的4个实验，分别是A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们所感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名同学；并补全频数分布直方图；
（2）扇形中m＝ ，A实验所对应的圆心角为 ；
（3）若4个实验任选其一为主题设计手抄报，利用树状图或列表的方法求王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的概率．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．直线l过点C，且与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，AC平分∠FAD，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图，已知钝角△ABC中，CA＝CB．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD交AB于点D；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若AB＝2，∠ACB＝120°，求出此时⊙O的半径长度．（如需画草图，请使用备用图）
23．（10分）为了进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地种植蔬菜，为避免蔬菜品种单一造成滞销，从而丰富蔬菜品种的多样性，准备种植A，B两种蔬菜，若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入38万元．
（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植A种蔬菜每亩获利0.5万元，种植B种蔬菜每亩获利0.9万元，村里把120万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，若要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
24．（12分）如图甲，在△ABC中．∠ACB＝90°．AC＝4．BC＝3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）．
（1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在有理数+（﹣2），﹣（﹣3），（﹣1）2023，﹣|﹣2|，0，﹣（+1）中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】化简题目中的数据，即可得出结论．
【解答】解：+（﹣2）＝﹣2，
﹣（﹣3）＝3，
（﹣1）2023＝﹣1，
﹣|﹣2|＝﹣2，
0＝0，
﹣（+1）＝﹣1，
负数有4个，
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的乘方、绝对值、相反数，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3．北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为（ ）
A．7.062×103 B．70.62×106 C．0.7062×108 D．7.062×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：7062万＝70620000＝7.062×107．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．
下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：第1个图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
第2个图形是中心对称图形，故本选项合题意；
第3个图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第4个图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：﹣x≥1，解得x≤﹣1；
解3﹣x＞0，得x＜3，
在数轴上表示都向左，故A符合提议，
故选：A．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2
C．（﹣ab3）2＝a2b6 D．a6b+a2＝a3b
【分析】根据同类项的定义，完全平方公式，幂的乘方以及单项式的除法法则即可判断．
【解答】解：
选项
逐项分析
正误
A
a3与a2不是同类项，不能合并
×
B
（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2≠9a2﹣b2
×
C
（﹣ab3）2＝a2b6
√
D
a6b+a2≠a3b
×
故选：C．
【点评】本题考查（1）合并同类项；（2）完全平方公式；（3）同底数幂计算，掌握以上知识是解本题的关键．
7．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ）
A．＝+1 B．＝
C．＝﹣1 D．＝
【分析】根据题意可知：步行的时间＝牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．
【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里，
由题意可得：+1，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8．10月1日至6日，苏老师手机“微信运动”步数统计如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．10月1日至3日，运动步数逐日增加
B．10月3日运动步数最多
C．10月3日至6日，运动步数逐日减少
D．10月7日运动步数比10月6日少
【分析】根据折线图，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、10月1日至3日，运动步数逐日增加，选项正确，不符合题意；
B、10月3日运动步数最多，选项正确，不符合题意；
C、10月3日至6日，运动步数逐日减少，选项正确，不符合题意；
D、图中没有10月7日的运动步数，无法得出10月7日运动步数比10月6日少，选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查折线图．从折线图中有效的获取信息是解题的关键．
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝1.2米，CF＝BD＝m米，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝m•tanα，
∴AB＝BF+AF＝（1.2+mtanα）（米），
即旗杆的高度为（1.2+mtanα）米，
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】过点P作PK⊥BE于点K，根据题意可得PK∥AE，则△BKP∽△BEA，即可得到PK为△ABE的中位线，再根据题意可证明△PFK∽△FQG，由相似三角形的性质可得，设FG＝GH＝EH＝EF＝a，AH＝BE＝b，则QG＝，AE＝b﹣a，PK＝，EK＝，FK＝EK﹣EF＝，以此得，b＝3a，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝，以此即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PK⊥BE于点K，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝90°，
∵PK⊥BE，
∴∠PKF＝90°，
∴PK∥AE，
∴△BKP∽△BEA，
∴，
∵P为AB的中点，
∴，
∴PK为△ABE的中位线，
根据题意可得∠EFG＝∠FGH＝90°，
∴BE∥GD，
∴∠PFK＝∠FQG，
在△PFK和△FQG中，
∠PFK＝∠FQG，∠PKF＝∠FGQ＝90°，
∴△PFK∽△FQG，
∴，
设FG＝GH＝EH＝EF＝a，AH＝BE＝b，
则QG＝，AE＝b﹣a，
∵PK为△ABE的中位线，
∴PK＝，EK＝，
∴FK＝EK﹣EF＝，
∵，
∴，
∴b＝3a，
在Rt△ABE中，
AE＝b﹣a，BE＝b，
由勾股定理得AB＝＝＝a，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质得到b＝3a是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个八边形的外角和是 360 °．
【分析】根据任何凸多边形的外角和都是360度，解答即可．
【解答】解：八边形的外角和是360度．
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是360度，不随着边数的变化而变化．
12．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 100 m．
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×50＝100米．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
13．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 8 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可知口袋中红球的个数约为：40×，然后计算即可．
【解答】解：由题意可得，
口袋中红球的个数约为：40×＝8（个），
故答案为：8．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的红球个数．
14．命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
【分析】先写出逆命题，再判断真假即可．
【解答】解：命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是：若a＞b，则ac2＞bc2，当c＝0时不成立，故为假命题，
故答案为：假．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握原命题的逆命题是解答此题的关键．
15．如图，若反比例函数（k≠0）的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积3，则k＝ 6 ．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【解答】解：连接OA，AB∥OC，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△ABC＝S△AOB，
∴S△AOB＝|k|＝3
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 ①②④ （直接填写序号）．
①直线DF是⊙O的切线：
②△DEF是等腰三角形；
③图中共有3个等腰三角形：
④连接OE，则tan∠AEO＝．
【分析】①正确．连接OD，证明OD⊥DF即可；
②正确．证明∠EDF＝∠EFD＝67.5°，可得结论；
③错误．△ABD，△BCD，△EDF，△ABC，△CDE都是等腰三角形；
④正确．连接OE，过点O作OH⊥AD于点H，设BC＝CD＝DE＝m，则CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m，求出OH，EH，可得结论．
【解答】解：连接OD．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC是直径，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝∠CDF，
∴∠ODF＝∠ADC＝90°，
∴DF是⊙O的切线，故①正确，
∵∠CDF＝∠CDB＝∠CAB＝22.5°，∠CDE＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠E＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠EDF＝∠EFD，
∴ED＝EF，
∴△EDF是等腰三角形，故②正确，
图中，△ABD，△BCD，△EDF，△CDE都是等腰三角形，故③错误，
连接OE，过点O作OH⊥AD于点H，
设BC＝CD＝DE＝m，则CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m，
∴AH＝DH＝（m+m），
∵AO＝OC，AH＝DH，
∴OH＝DC＝m，
∴tan∠OEH＝＝＝，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，先化简，再进行加减运算即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
【分析】由平行四边形的性质得出∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．证出∠AFD＝∠C，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
19．（8分）先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为﹣2和2，取x＝0，最后代入求出答案即可．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为﹣2和2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（8分）中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宫课”中航天员生动演示了微重力环境下的4个实验，分别是A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们所感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 150 名同学；并补全频数分布直方图；
（2）扇形中m＝ 16% ，A实验所对应的圆心角为 108° ；
（3）若4个实验任选其一为主题设计手抄报，利用树状图或列表的方法求王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的概率．
【分析】（1）用A实验主题的人数除以其所占百分比可得调查的学生总人数，求出B实验主题的人数，再补全频数分布直方图即可．
（2）用1减去A，B，D主题所占的百分比即可求得m；用A实验所占的百分比乘以360°即可得出答案．
（3）画树状图列出所有等可能的结果数和王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）45÷30%＝150（名），
∴随机调查了150名同学．
B实验主题的人数为150﹣45﹣24﹣26＝55（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
故答案为：150．
（2）m＝1﹣30%﹣36%﹣18%＝16%，
A实验所对应的圆心角为30%×360°＝108°．
故答案为：16%；108°．
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的的结果有7种，
∴王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布直方图、扇形统计图，能够读懂频数分布直方图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．直线l过点C，且与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，AC平分∠FAD，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，连接OC，根据等边对等角和角平分线的定义证明∠FAC＝∠ACO，则AF∥OC，再由AF⊥l，可得OC⊥l，由此即可证明直线l是⊙O的切线；
（2）如图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．由直径所对的圆周角是直角得到∠ACD＝90°，则∠CAD＝30°，推出∠FAC＝∠CAD＝30°，设FC＝x，则AC＝2x，利用勾股定理得到，求出CF＝4．再求出．．最后根据S阴影＝S△CEO﹣S扇形COD进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAD，
∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AF∥OC，
∵AF⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为半径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD＝90°
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠FAC＝∠CAD＝30°，
在Rt△ACF中，∠FAC＝30°，，
∴，
设FC＝x，则AC＝2x，，
解得：x＝4，
∴CF＝4．
在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，
得．
在Rt△CEO中，．
∴．
【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质与判定，等边对等角，角平分线的定义，求不规则图形面积，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（10分）如图，已知钝角△ABC中，CA＝CB．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD交AB于点D；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若AB＝2，∠ACB＝120°，求出此时⊙O的半径长度．（如需画草图，请使用备用图）
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）连接OB，证明△OBC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求；
（2）连接OB．
∴CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，AD⊥AB，AD＝DB＝，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴OB＝＝＝2．
故⊙O的半径长度为2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）为了进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地种植蔬菜，为避免蔬菜品种单一造成滞销，从而丰富蔬菜品种的多样性，准备种植A，B两种蔬菜，若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入38万元．
（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植A种蔬菜每亩获利0.5万元，种植B种蔬菜每亩获利0.9万元，村里把120万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，若要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
【分析】（1）设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，B种蔬菜每亩需投入y万元，根据“种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入38万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设种植A种蔬菜m亩，总获利为w万元，则种植B种蔬菜（200﹣m）亩，利用总获利＝每亩获利×种植亩数，可得出w关于m的一次函数关系式，由A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，B种蔬菜每亩需投入y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种植A种蔬菜每亩需投入0.4万元，B种蔬菜每亩需投入0.6万元；
（2）设种植A种蔬菜m亩，总获利为w万元，则种植B种蔬菜＝（200﹣m）亩，
根据题意得：w＝0.5m+0.9（200﹣m），
即w＝﹣0.1m+180．
∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，
∴m≥1.5（200﹣m），
解得：m≥150．
∵﹣0.1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝150时，w取得最大值，最大值为﹣0.1×150+180＝165，此时200﹣m＝200﹣×150＝100，
∴总获利最大的种植方案为：种植A种蔬菜150亩，B种蔬菜100亩，最大总获利为165万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24．（12分）如图甲，在△ABC中．∠ACB＝90°．AC＝4．BC＝3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）．
（1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值．
【分析】（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出＝，从而求出AB，再根据＝，得出PH＝3﹣t，则△AQP的面积为：AQ•PH＝t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；
（2）需要分类讨论，当PQ在BC的左边时，△APQ与△ABC的重叠部分面积y＝S△APQ，当PQ在BC的右边时，△APQ与△ABC的重叠部分面积y＝S△A′P′C；
（3）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，＝，求出AE＝﹣t+4，再根据QE＝AE﹣AQ，QE＝QC得出﹣t+4＝﹣t+2，再求t即可．
【解答】解：（1）如答图1，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm，
∴＝，
∴PH＝3﹣t，
∴△AQP的面积为：
S＝×AQ×PH＝×t×（3﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t为秒时，S最大值为cm2．
（2）①当0≤x＜时，y＝；
②当≤x＜2时，y＝﹣x+3．
③如答图2，当2≤x≤4时，△A′P′C∽△A′PQ，则＝，即＝，
解得P′C＝（4﹣x），
则y＝（4﹣x）×（4﹣x）＝（4﹣x）2，
综上所述，y＝；
（3）如答图3，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE＝EC，
∴△APE∽△ABC，
∴＝，
∴AE＝＝＝﹣t+4
QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4﹣t＝﹣t+4，
QE＝QC＝（4﹣t）＝﹣t+2，
∴﹣t+4＝﹣t+2，
解得：t＝，
∵0＜＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s．
【点评】此题主要考查了四边形综合题，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意作出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3计算即可．
（2）分∠MCB＝90°，∠MBC＝90°，∠CMB＝90°，三种情形计算即可．
（3）设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），则D（n，﹣n+3），确定PD＝﹣n2+3n；根据A（﹣1，0），C（0，3）计算，于是，结合S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，确定，继而得到，运用二次函数最值计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，当∠MCB＝90°时，延长MC交x轴于点G，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MCB＝90°，
∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，
∴∠GCO＝∠CGO＝45°，
∴OG＝OC＝3，
∴G（﹣3，0），
设直线GC的解析式为y＝kx+3，
∴0＝﹣3k+3，
解得k＝1，
∴直线GC的解析式为y＝x+3，
∴x＝1时，y＝x+3＝4，
此时M（1，4）；
如图，当∠MBC＝90°时，延长BM交y轴于点H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MBC＝90°，
∴∠HBO＝45°，
∴∠HBO＝∠BHO＝45°，
∴OH＝OB＝3，
∴H（0，﹣3），
设直线BH的解析式为y＝px﹣3，
∴0＝3p﹣3，
解得p＝1，
∴直线BH的解析式为y＝x﹣3，
∴x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
此时M（1，﹣2）；
当∠CMB＝90°时，设M（1，a），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，
∵∠CMB＝90°，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，
整理，得a2﹣3a﹣2＝0，
解得，
此时或；
综上所述，点M（1，4）或点M（1，﹣2）或点或点．
（3）如图，设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），
∵B（3，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝qx+3，
∴0＝3q+3，
解得q＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴D（n，﹣n+3），
∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
∴，
连接AD，
∴，
∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴，
∴，
∴
∵抛物线开口向下，
∴m有最大值，且当时，取得最大值，且为，
此时，
故点．
【点评】本题考查了待定系数法确定一次函数、二次函数解析式，两点间的距离公式，构造二次函数求最值，熟练掌握解析式的确定，二次函数的最值是解题的关键．
福建省福州市平潭综合实验区2023年中考数学适应性试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在有理数+（﹣2），﹣（﹣3），（﹣1）2023，﹣|﹣2|，0，﹣（+1）中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为（ ）
A．7.062×103 B．70.62×106 C．0.7062×108 D．7.062×107
4．教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．
下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2
C．（﹣ab3）2＝a2b6 D．a6b+a2＝a3b
7．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ）
A．＝+1 B．＝
C．＝﹣1 D．＝
8．10月1日至6日，苏老师手机“微信运动”步数统计如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．10月1日至3日，运动步数逐日增加
B．10月3日运动步数最多
C．10月3日至6日，运动步数逐日减少
D．10月7日运动步数比10月6日少
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个八边形的外角和是 °．
12．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
13．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
14．命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
15．如图，若反比例函数（k≠0）的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积3，则k＝ ．
16．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 （直接填写序号）．
①直线DF是⊙O的切线：
②△DEF是等腰三角形；
③图中共有3个等腰三角形：
④连接OE，则tan∠AEO＝．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
19．（8分）先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
20．（8分）中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宫课”中航天员生动演示了微重力环境下的4个实验，分别是A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们所感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 名同学；并补全频数分布直方图；
（2）扇形中m＝ ，A实验所对应的圆心角为 ；
（3）若4个实验任选其一为主题设计手抄报，利用树状图或列表的方法求王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的概率．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．直线l过点C，且与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，AC平分∠FAD，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图，已知钝角△ABC中，CA＝CB．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD交AB于点D；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若AB＝2，∠ACB＝120°，求出此时⊙O的半径长度．（如需画草图，请使用备用图）
23．（10分）为了进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地种植蔬菜，为避免蔬菜品种单一造成滞销，从而丰富蔬菜品种的多样性，准备种植A，B两种蔬菜，若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入38万元．
（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植A种蔬菜每亩获利0.5万元，种植B种蔬菜每亩获利0.9万元，村里把120万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，若要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
24．（12分）如图甲，在△ABC中．∠ACB＝90°．AC＝4．BC＝3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）．
（1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在有理数+（﹣2），﹣（﹣3），（﹣1）2023，﹣|﹣2|，0，﹣（+1）中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】化简题目中的数据，即可得出结论．
【解答】解：+（﹣2）＝﹣2，
﹣（﹣3）＝3，
（﹣1）2023＝﹣1，
﹣|﹣2|＝﹣2，
0＝0，
﹣（+1）＝﹣1，
负数有4个，
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的乘方、绝对值、相反数，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3．北京时间2022年11月21日0点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了7062万人，则7062万用科学记数法表示为（ ）
A．7.062×103 B．70.62×106 C．0.7062×108 D．7.062×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：7062万＝70620000＝7.062×107．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．
下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：第1个图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
第2个图形是中心对称图形，故本选项合题意；
第3个图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第4个图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：﹣x≥1，解得x≤﹣1；
解3﹣x＞0，得x＜3，
在数轴上表示都向左，故A符合提议，
故选：A．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2
C．（﹣ab3）2＝a2b6 D．a6b+a2＝a3b
【分析】根据同类项的定义，完全平方公式，幂的乘方以及单项式的除法法则即可判断．
【解答】解：
选项
逐项分析
正误
A
a3与a2不是同类项，不能合并
×
B
（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2≠9a2﹣b2
×
C
（﹣ab3）2＝a2b6
√
D
a6b+a2≠a3b
×
故选：C．
【点评】本题考查（1）合并同类项；（2）完全平方公式；（3）同底数幂计算，掌握以上知识是解本题的关键．
7．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ）
A．＝+1 B．＝
C．＝﹣1 D．＝
【分析】根据题意可知：步行的时间＝牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．
【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里，
由题意可得：+1，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8．10月1日至6日，苏老师手机“微信运动”步数统计如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．10月1日至3日，运动步数逐日增加
B．10月3日运动步数最多
C．10月3日至6日，运动步数逐日减少
D．10月7日运动步数比10月6日少
【分析】根据折线图，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、10月1日至3日，运动步数逐日增加，选项正确，不符合题意；
B、10月3日运动步数最多，选项正确，不符合题意；
C、10月3日至6日，运动步数逐日减少，选项正确，不符合题意；
D、图中没有10月7日的运动步数，无法得出10月7日运动步数比10月6日少，选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查折线图．从折线图中有效的获取信息是解题的关键．
9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝1.2米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝m米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．（1.2+）米 B．（1.2+）米
C．（1.2+m sinα）米 D．（1.2+m tanα）米
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝1.2米，CF＝BD＝m米，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝m•tanα，
∴AB＝BF+AF＝（1.2+mtanα）（米），
即旗杆的高度为（1.2+mtanα）米，
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】过点P作PK⊥BE于点K，根据题意可得PK∥AE，则△BKP∽△BEA，即可得到PK为△ABE的中位线，再根据题意可证明△PFK∽△FQG，由相似三角形的性质可得，设FG＝GH＝EH＝EF＝a，AH＝BE＝b，则QG＝，AE＝b﹣a，PK＝，EK＝，FK＝EK﹣EF＝，以此得，b＝3a，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝，以此即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PK⊥BE于点K，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝90°，
∵PK⊥BE，
∴∠PKF＝90°，
∴PK∥AE，
∴△BKP∽△BEA，
∴，
∵P为AB的中点，
∴，
∴PK为△ABE的中位线，
根据题意可得∠EFG＝∠FGH＝90°，
∴BE∥GD，
∴∠PFK＝∠FQG，
在△PFK和△FQG中，
∠PFK＝∠FQG，∠PKF＝∠FGQ＝90°，
∴△PFK∽△FQG，
∴，
设FG＝GH＝EH＝EF＝a，AH＝BE＝b，
则QG＝，AE＝b﹣a，
∵PK为△ABE的中位线，
∴PK＝，EK＝，
∴FK＝EK﹣EF＝，
∵，
∴，
∴b＝3a，
在Rt△ABE中，
AE＝b﹣a，BE＝b，
由勾股定理得AB＝＝＝a，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质得到b＝3a是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个八边形的外角和是 360 °．
【分析】根据任何凸多边形的外角和都是360度，解答即可．
【解答】解：八边形的外角和是360度．
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是360度，不随着边数的变化而变化．
12．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 100 m．
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×50＝100米．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
13．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 8 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可知口袋中红球的个数约为：40×，然后计算即可．
【解答】解：由题意可得，
口袋中红球的个数约为：40×＝8（个），
故答案为：8．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的红球个数．
14．命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
【分析】先写出逆命题，再判断真假即可．
【解答】解：命题“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是：若a＞b，则ac2＞bc2，当c＝0时不成立，故为假命题，
故答案为：假．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握原命题的逆命题是解答此题的关键．
15．如图，若反比例函数（k≠0）的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积3，则k＝ 6 ．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【解答】解：连接OA，AB∥OC，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△ABC＝S△AOB，
∴S△AOB＝|k|＝3
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，∠CDF＝∠CDB．则下列结论成立的是 ①②④ （直接填写序号）．
①直线DF是⊙O的切线：
②△DEF是等腰三角形；
③图中共有3个等腰三角形：
④连接OE，则tan∠AEO＝．
【分析】①正确．连接OD，证明OD⊥DF即可；
②正确．证明∠EDF＝∠EFD＝67.5°，可得结论；
③错误．△ABD，△BCD，△EDF，△ABC，△CDE都是等腰三角形；
④正确．连接OE，过点O作OH⊥AD于点H，设BC＝CD＝DE＝m，则CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m，求出OH，EH，可得结论．
【解答】解：连接OD．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC是直径，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝∠CDF，
∴∠ODF＝∠ADC＝90°，
∴DF是⊙O的切线，故①正确，
∵∠CDF＝∠CDB＝∠CAB＝22.5°，∠CDE＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠E＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠EDF＝∠EFD，
∴ED＝EF，
∴△EDF是等腰三角形，故②正确，
图中，△ABD，△BCD，△EDF，△CDE都是等腰三角形，故③错误，
连接OE，过点O作OH⊥AD于点H，
设BC＝CD＝DE＝m，则CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m，
∴AH＝DH＝（m+m），
∵AO＝OC，AH＝DH，
∴OH＝DC＝m，
∴tan∠OEH＝＝＝，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，先化简，再进行加减运算即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
【分析】由平行四边形的性质得出∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．证出∠AFD＝∠C，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
19．（8分）先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为﹣2和2，取x＝0，最后代入求出答案即可．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为﹣2和2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（8分）中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宫课”中航天员生动演示了微重力环境下的4个实验，分别是A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某中学开展这4个实验为主题的手抄报评比活动，学生会随机抽取部分同学调查他们所感兴趣的主题，数据如下：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 150 名同学；并补全频数分布直方图；
（2）扇形中m＝ 16% ，A实验所对应的圆心角为 108° ；
（3）若4个实验任选其一为主题设计手抄报，利用树状图或列表的方法求王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的概率．
【分析】（1）用A实验主题的人数除以其所占百分比可得调查的学生总人数，求出B实验主题的人数，再补全频数分布直方图即可．
（2）用1减去A，B，D主题所占的百分比即可求得m；用A实验所占的百分比乘以360°即可得出答案．
（3）画树状图列出所有等可能的结果数和王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）45÷30%＝150（名），
∴随机调查了150名同学．
B实验主题的人数为150﹣45﹣24﹣26＝55（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
故答案为：150．
（2）m＝1﹣30%﹣36%﹣18%＝16%，
A实验所对应的圆心角为30%×360°＝108°．
故答案为：16%；108°．
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的的结果有7种，
∴王明和李宇至少有一人选取水油分离实验的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布直方图、扇形统计图，能够读懂频数分布直方图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．直线l过点C，且与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，AC平分∠FAD，CG⊥AD，垂足为G．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，连接OC，根据等边对等角和角平分线的定义证明∠FAC＝∠ACO，则AF∥OC，再由AF⊥l，可得OC⊥l，由此即可证明直线l是⊙O的切线；
（2）如图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．由直径所对的圆周角是直角得到∠ACD＝90°，则∠CAD＝30°，推出∠FAC＝∠CAD＝30°，设FC＝x，则AC＝2x，利用勾股定理得到，求出CF＝4．再求出．．最后根据S阴影＝S△CEO﹣S扇形COD进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAD，
∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AF∥OC，
∵AF⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为半径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CD，则∠ADC＝∠B＝60°．
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD＝90°
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠FAC＝∠CAD＝30°，
在Rt△ACF中，∠FAC＝30°，，
∴，
设FC＝x，则AC＝2x，，
解得：x＝4，
∴CF＝4．
在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，
得．
在Rt△CEO中，．
∴．
【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质与判定，等边对等角，角平分线的定义，求不规则图形面积，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（10分）如图，已知钝角△ABC中，CA＝CB．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD交AB于点D；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若AB＝2，∠ACB＝120°，求出此时⊙O的半径长度．（如需画草图，请使用备用图）
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）连接OB，证明△OBC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求；
（2）连接OB．
∴CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，AD⊥AB，AD＝DB＝，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴OB＝＝＝2．
故⊙O的半径长度为2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）为了进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地种植蔬菜，为避免蔬菜品种单一造成滞销，从而丰富蔬菜品种的多样性，准备种植A，B两种蔬菜，若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入38万元．
（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？
（2）经测算，种植A种蔬菜每亩获利0.5万元，种植B种蔬菜每亩获利0.9万元，村里把120万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，若要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
【分析】（1）设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，B种蔬菜每亩需投入y万元，根据“种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，共需投入42万元；种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入38万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设种植A种蔬菜m亩，总获利为w万元，则种植B种蔬菜（200﹣m）亩，利用总获利＝每亩获利×种植亩数，可得出w关于m的一次函数关系式，由A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设种植A种蔬菜每亩需投入x万元，B种蔬菜每亩需投入y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种植A种蔬菜每亩需投入0.4万元，B种蔬菜每亩需投入0.6万元；
（2）设种植A种蔬菜m亩，总获利为w万元，则种植B种蔬菜＝（200﹣m）亩，
根据题意得：w＝0.5m+0.9（200﹣m），
即w＝﹣0.1m+180．
∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，
∴m≥1.5（200﹣m），
解得：m≥150．
∵﹣0.1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝150时，w取得最大值，最大值为﹣0.1×150+180＝165，此时200﹣m＝200﹣×150＝100，
∴总获利最大的种植方案为：种植A种蔬菜150亩，B种蔬菜100亩，最大总获利为165万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24．（12分）如图甲，在△ABC中．∠ACB＝90°．AC＝4．BC＝3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）．
（1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值．
【分析】（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出＝，从而求出AB，再根据＝，得出PH＝3﹣t，则△AQP的面积为：AQ•PH＝t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；
（2）需要分类讨论，当PQ在BC的左边时，△APQ与△ABC的重叠部分面积y＝S△APQ，当PQ在BC的右边时，△APQ与△ABC的重叠部分面积y＝S△A′P′C；
（3）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，＝，求出AE＝﹣t+4，再根据QE＝AE﹣AQ，QE＝QC得出﹣t+4＝﹣t+2，再求t即可．
【解答】解：（1）如答图1，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm，
∴＝，
∴PH＝3﹣t，
∴△AQP的面积为：
S＝×AQ×PH＝×t×（3﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t为秒时，S最大值为cm2．
（2）①当0≤x＜时，y＝；
②当≤x＜2时，y＝﹣x+3．
③如答图2，当2≤x≤4时，△A′P′C∽△A′PQ，则＝，即＝，
解得P′C＝（4﹣x），
则y＝（4﹣x）×（4﹣x）＝（4﹣x）2，
综上所述，y＝；
（3）如答图3，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE＝EC，
∴△APE∽△ABC，
∴＝，
∴AE＝＝＝﹣t+4
QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4﹣t＝﹣t+4，
QE＝QC＝（4﹣t）＝﹣t+2，
∴﹣t+4＝﹣t+2，
解得：t＝，
∵0＜＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s．
【点评】此题主要考查了四边形综合题，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意作出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．
（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3计算即可．
（2）分∠MCB＝90°，∠MBC＝90°，∠CMB＝90°，三种情形计算即可．
（3）设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），则D（n，﹣n+3），确定PD＝﹣n2+3n；根据A（﹣1，0），C（0，3）计算，于是，结合S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，确定，继而得到，运用二次函数最值计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，当∠MCB＝90°时，延长MC交x轴于点G，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MCB＝90°，
∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，
∴∠GCO＝∠CGO＝45°，
∴OG＝OC＝3，
∴G（﹣3，0），
设直线GC的解析式为y＝kx+3，
∴0＝﹣3k+3，
解得k＝1，
∴直线GC的解析式为y＝x+3，
∴x＝1时，y＝x+3＝4，
此时M（1，4）；
如图，当∠MBC＝90°时，延长BM交y轴于点H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MBC＝90°，
∴∠HBO＝45°，
∴∠HBO＝∠BHO＝45°，
∴OH＝OB＝3，
∴H（0，﹣3），
设直线BH的解析式为y＝px﹣3，
∴0＝3p﹣3，
解得p＝1，
∴直线BH的解析式为y＝x﹣3，
∴x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
此时M（1，﹣2）；
当∠CMB＝90°时，设M（1，a），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，
∵∠CMB＝90°，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，
整理，得a2﹣3a﹣2＝0，
解得，
此时或；
综上所述，点M（1，4）或点M（1，﹣2）或点或点．
（3）如图，设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），
∵B（3，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝qx+3，
∴0＝3q+3，
解得q＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴D（n，﹣n+3），
∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
∴，
连接AD，
∴，
∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴，
∴，
∴
∵抛物线开口向下，
∴m有最大值，且当时，取得最大值，且为，
此时，
故点．
【点评】本题考查了待定系数法确定一次函数、二次函数解析式，两点间的距离公式，构造二次函数求最值，熟练掌握解析式的确定，二次函数的最值是解题的关键．
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