2023湖北省华中师范大学第一附中高三下学期第二次学业质量评价检测数学试卷含解析

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时间：120分钟 满分：150分 命题人：袁曼 审题人：张丹 王文莹
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为
A. 1B. C. 0D. 2
2. 设集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
3. 函数的大致图象是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D. 0
5. 设函数，若，且，则下列不等式恒成立的是
A. B.
C. D.
6. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
7. 在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（ ）．
A. B. C. D.
8. 在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）．
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生，通过测验判断其数学成绩是否优秀，得到了如下列联表：
已知，，根据表中数据，计算得到．
则下列说法正确的是（ ）．
A. 根据小概率的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异
B. 根据小概率的独立性检验，两校的数学成绩优秀率有差异，该推断犯错误的概率不超过0.1
C. 若将表中所有数据都扩大为原来的10倍，根据小概率的独立性检验，两校的数学成绩优秀率有差异，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 若将表中所有数据都扩大为原来的10倍，根据小概率的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异
10. 科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（ ）
A. 第天时情绪曲线处于最高点
B. 第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交
C. 第天到第天时，体力曲线处于上升期
D. 体力曲线关于点对称
11. 已知异面直线与所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点且与直线、所成角都是直线有条
B. 过点且与平面、所成角都是的直线有条
C. 过点且与平面、所成角都是直线有条
D. 过点与平面成角，且与直线成的直线有条
12. 已知数列，满足，，，，，则下列选项正确有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量，，且，，则_________.
14. 如图，在中，，，点D与点B分别在直线的两侧，且，则的最大值是__________．
15. 已知直线，抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，点B关于y轴对称的点为P．若过点A，B的圆与直线l相切，且与直线交于点Q，则当时，直线的斜率为__________．
16. 已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数在区间上是单调函数，且恒成立．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 如图，直四棱柱的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是的中点，．
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）当k取何值时，O在平面内的射影恰好为的重心．
19. 已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．
（1）求，，；
（2）已知等式对，成立，请用该结论求数列，，2，…，n的前n项和．
20. 2023年3月华中师大一附中举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
（1）若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
21. 已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，．
（1）求直线的方程（含m）；
（2）证明直线过点C，并比较与的大小．
22. 若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点，且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”．
（1），均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”；
（2），，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围．
学校
数学成绩
合计（单位：人）
不优秀
优秀
甲校
33
10
43
乙校
38
7
45
合计（单位：人）
71
17
88
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828