2022-2023学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】因为直线的倾斜角是，所以此直线的斜率是.故选:C.2．对于空间向量，，若，则实数（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值.【详解】因为，所以，即，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.3．在等差数列中，，，则公差（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】利用等差数列通项公式的性质解出即可【详解】在等差数列中，，所以 故选：B.4．双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（    ）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】D【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】由题意得，，，所以 .故选：D.5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，因此.故选：D.6．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成卦，则（    ）A．120 B．122 C．124 D．128【答案】A【解析】可根据等比数列的前项和公式计算（或直接计算和）．【详解】依题意可得是首项为2，公比为2的等比数列，则．故选：A．7．已知，，，设曲线在处的切线斜率为，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数几何意义可得，利用导数可求得在上单调递减；根据大小关系可得结论.【详解】当时，，，，，在上单调递减；，即，.故选：C.8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，所以，，当且仅当时，等号成立.故选：A. 二、多选题9．下列有关数列的说法正确的是（    ）A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C．在数列中,第8个数是D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为【答案】BCD【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,所以两个数列不是同一个,故选项A错误;当时,解得:或(舍),即110是该数列的第10项,故选项B正确;因为数列可写为:,所以第8个数是,故选项C正确;因为所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.故选：BCD10．两平行直线和间的距离为， 若直线的方程为， 则直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设出直线的方程，由两平行线间距离公式列出方程，求出，得到直线方程.【详解】设直线的方程为，由两平行线间距离公式可知：，解得：或，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即，故直线的方程为或.故选：BC11．广大青年要从现在做起，从自己做起，勤学、修德、明辨、笃实，使社会主义核心观成为自己的基本遵循，并身体力行大力将其推广到全社会去，努力在实现中国梦的伟大实践中创造自己的精彩人生．若“青年函数”的导函数为，则（    ）A． B． C．存在零点 D．无零点【答案】ABD【分析】由题可求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系结合条件逐项分析即得.【详解】∵，∴恒成立，∴在时单调递增，∴，故A项正确；∵，∴，故B项正确；∵，∴，又∵恒成立，∴在上单调递增，∴，∴在上也单调递增，∴，故不存在零点，故C项错误，D项正确．故选：ABD．12．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（    ）A．若点在平面内，则必存在实数，使得B．直线与所成角的余弦值为C．点到直线的距离为D．存在实数、使得【答案】BCD【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；对B：取的中点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为的中点，故可得//，在三角形中，分别为的中点，故可得//，则//，故直线所成的角即为或其补角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：连接如下图所示：在三角形中，，，，故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，则.故C正确；对D：记的中点为，连接，如下所示：由B选项所证，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面，又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在实数、使得，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题. 三、填空题13．若直线：与直线：垂直,则______.【答案】【分析】根据两直线垂直的条件,列出等式,求出即可.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,解得.故答案为:14．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为______.【答案】##【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到，再解方程即可.【详解】因为双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，所以，解得.故答案为：15．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，则通项公式an=_____.【答案】2+ln n【分析】利用累加法求得数列的通项公式.【详解】解析：∵an+1=an+ln，∴a2-a1=ln=ln 2，a3-a2=ln=ln，a4-a3=ln=ln，……an-an-1=ln=ln.以上(n-1)个等式相加，得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n.∵a1=2，∴an=2+ln n.∵a1=2+ln 1=2，∴{an}的通项公式为2+ln n.答案：2+ln n.16．已知函数,则不等式的解集为______．【答案】【分析】先分析的奇偶性,再对函数进行求导,判断单调性,根据单调性列出不等式,解出即可.【详解】解:由题意可知,函数的定义域为,且,所以函数为偶函数,当时,因为不恒为零,所以函数在上为增函数,因为,只需,即,可得,整理可得,解得.故答案为:【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,关于解不等式的方法有:(1)根据函数解析式判断函数的奇偶性;(2)求导或者直接观察法判断函数在上的单调性;(3)根据单调性奇偶性,列出不等式解出. 四、解答题17．已知直线的方程为(1)若与直线平行，求的值；(2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值；（2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程.【详解】（1）因为与直线平行，所以且，解得：.（2）当时，：，不满足题意.当时，与轴，轴的交点分别为，因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得.故的方程为或.18．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍．(1)求曲线的轨迹方程；(2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程．【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程；（2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（1）设，由题意得，两边平方并整理得，故曲线的轨迹方程为；（2）曲线：是以为圆心，半径为的圆.显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，所以，解得，所以直线的方程为或，即或.19．如图所示的几何体中，平面，是的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，由证得结论；（2）求出平面BDM和平面BDA的法向量，利用向量夹角公式求二面角的余弦值．【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，并设，则，所以，从而得；（2）设是平面的法向量，则由及，得，令，则，则．显然，为平面的法向量．设二面角的平面角为，由图可知为锐角，则此二面角的余弦值为．20．数列{}为正项等比数列，且已知.(1)求数列{}的通项公式；(2)在数列{}中的与两项之间插入m个实数，，，…，.得，，，……，，数列{}，要使得等差数列{}的公差d不大于2，当m取得最小值时，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用基本量表示即得；（2）利用通项公式和求和公式即得.【详解】（1）设等比数列{}的公比为），因为，解得或（舍去）数列{}的通项公式.（2）由（1）可知，所以等差数列{}的首项，即，因为，所以，故.所以等差数列{}共19项，.21．设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程；（2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证．【详解】（1）由点到轴的距离为得：，将代入得：，由抛物线的定义得，，由已知，，所以，所以抛物线的方程为；（2）由得，由题意知与抛物线交于两点，可设直线的方程为，，，联立方程，得，所以，，，所以，所以，则所以为的角平分线，由角平分线的性质定理，得．22．已知函数．(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；(2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围；(3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求过点的直线方程，结合直线过，即可求得的值；（2）由函数在区间上单调递减，可知其导数恒成立，分离参数，求解函数的最大值即可；（3）依题意可知有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可将问题转化为恒成立问题，进而利用导数求的最大值即可.【详解】（1）由得,所以过点切线的斜率为 ,因为切线过点,所以 ,解得：.（2）由得，依题意对区间上的任意实数恒成立，即对区间上的任意实数恒成立，易得在区间单调递减，在上单调递增，，，所以在上的最大值为，所以，实数a的取值范围为（3）依题意：在上有两个不同的根，即在上有两个不同的根,所以，可得，由于不等式，可得又.令,所以，又,所以，即在区间上严格递减，所以,所以.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．