2022-2023学年广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）上学期高二9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）上学期高二9月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）上学期高二9月月考数学试题 一、单选题1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.2．已知向量，则与同向共线的单位向量（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解.【详解】解：因为向量，所以已知向量，所以与同向共线的单位向量，故选：C3．下列命题中，正确的是（    ）.A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误；对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；对于D；若，，但不相等，故D错误；故选：C4．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.【详解】.故选：B5．如图，在四面体中，，，，且，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由平面向量的线性运算求解．【详解】连接，因为，所以，因为，所以，所以．故选：C．6．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选：D7．若，，则等于（    ）A．5 B． C．7 D．【答案】B【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.【详解】∵，，∴两式相加得，∴，∴，∴，故选：B．8．若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出．【详解】取直线与轴的交点，．，．直线与线段相交，或．故选：．【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题． 二、多选题9．已知是空间的一个基底，若，则错误的是（    ）A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底【答案】ABD【分析】根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.【详解】解：对于A选项，，所以共面，故错误；对于B选项，，所以共面，故错误；对于C选项，假设，即，得，这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，正确；对于D选项，由C选项可知D选项错误.故选：ABD10．若直线的斜率，且过点，则直线经过点（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案.【详解】直线的斜率，且过点，对于A,计算，故A错误；对于B,计算，故B正确；对于C,计算，故C正确；对于D,计算，故D错误；故选：BC11．下面四个结论正确的是（    ）A．空间向量，若，则B．若空间四个点，，则三点共线C．已知向量，若，则为钝角D．任意向量满足【答案】AB【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B【详解】对于A：因为，，则，故A正确；对于B：因为，则，即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；对于C：，若为钝角：则，且与不共线，由得，当时，，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，故选：AB12．定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）A． B．C．若，则 D．【答案】BD【分析】理解新定义，对选项逐一判断【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误，对于B，由定义知B正确，对于C，若，则，共线，故C错误，对于D，由定义知，故D正确．故选：BD 三、填空题13．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；  ②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；其中正确命题的个数是______．【答案】【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；所以正确的命题个数是4．故答案为：．14．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为______.【答案】【分析】首先求得与同向的单位向量，根据投影向量定义知所求为.【详解】，与同向的单位向量，在方向上的投影向量为.故答案为：.15．已知是空间两个向量，若，则cos〈〉＝________．【答案】【分析】根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.【详解】由，可知，则，，，则.故答案为：.16．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由目标式表示在上点与所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点斜率公式求范围即可.【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，如图，，则，，故的取值范围是.故答案为： 四、解答题17．已知空间三点、、，设，．(1)若向量与互相垂直，求实数的值；(2)若向量与共线，求实数的值．【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】（1）解：由已知可得，，所以，，，由题意可知，即，解得或.（2）解：，，由题意，设，所以，，解得或.因此，.18．在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.(1)求直线的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【详解】（1）在中，，，，则边中点，边的中点，直线DE的斜率，于是得，即，所以直线的方程是：.（2）依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，所以直线的方程为：，即.19．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点.设，，.(1)用，，表示，；(2)求证：，，，四点共面.【答案】(1),(2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案.（2）用向量分别表示出，从而可得，从而可证.【详解】（1），分别是，的中点，则且所以，，分别是，的中点，则且（2），，，∴，从而，，，四点共面．20．如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点．(1)求证：平面PFQ；(2)求直线AE与平面PFQ间的距离．【答案】(1)证明见详解；(2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明结合线面平行的判定推理作答.（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量计算直线与平面的距离作答.【详解】（1）在平面内过点作，因平面，则以点A为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因是边长为4的正三角形，则，线段BC中点，线段AC中点，线段CE中点，，而，即有，又无公共点，则，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，则点A到平面的距离即为直线AE与平面PFQ间的距离，设平面的法向量，而，则，令，得，因此点A到平面的距离，所以直线AE与平面PFQ间的距离为．21．四棱锥中，底面，，，，，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)具体见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量证明线面垂直，结合面面垂直的判定定理证明问题；（2）由空间向量夹角公式即可求得答案.【详解】（1）如图，由题意，以为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则.，则，所以，而，所以平面，而平面，所以平面平面.（2），，设平面的法向量为，记直线与平面所成角为.由，令z=1，则，所以.即直线与平面所成角的正弦值.22．如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．【详解】解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，则，，所以面，又，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，（1）证明：由题意，，，因为，所以.（2）解：，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，平面的一个法向量，因此有，由图可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.（3）解：（方法一）设，，所以，因此，令，即，解得，即为的中点，因为平面，平面，，所以当为的中点时，平面平面，此时即，，所以线段的长为.（方法二）设，，所以，因此，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，因为平面平面，所以，解得：，此时即，，所以线段的长为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．