2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高二下学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则A的子集共有（    ）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【答案】C【分析】根据题意先求得集合，再求子集的个数即可.【详解】由，得集合所以集合A的子集有个，故选： C2．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合二次函数的性质来求得的取值范围.【详解】依题意命题“，”为真命题，当时，成立，当时，成立，当时，函数开口向下，不恒成立.综上所述，.故选：B3．已知函数的导函数为，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出，然后令求出，然后即可求出．【详解】因为所以令时有，所以所以所以故选：C4．基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型来描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足，有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为（    ）（参考数据：）A．2天 B．5天 C．4天 D．3天【答案】D【分析】根据题中所给的函数模型求出指数增长率的值，然后根据求出答案即可.【详解】因为，，，则指数增长率设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间为天所以，则所以，即．所以（天）．故选：D5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为､公差为的等差数列，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的对称性首先求出函数是以2为周期的函数，且，而数列的通项公式为，则可将所求转化为，再根据函数的奇偶性可得，从而有，即可求得结果.【详解】∵，∴，即是以2为周期的函数，而，∴，又∵数列是首项为､公差为的等差数列，∴，∴，又∵是定义在上的奇函数，∴，而，∴，∴，∴.故选：B.6．已知均为等差数列的与的前n项和分别为，，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，由，，即可求解结果．【详解】因为，又因为，所以可设，，则，所以，即.故选：A7．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，有解，则实数的最大值（    ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】由奇函数的性质得时，，且在上单调递增，进而，当分时，恒成立；当时，结合单调性将问题转化为在上有解，进而得，再解不等式即可得最大值.【详解】因为定义在上的奇函数，当时，，所以当时，，所以当时，函数单调递增，，时，单调递增，；所以，由奇函数的性质知，函数在上单调递增，所以，当时，由于，故，，此时恒成立，当时，，所以，当时，有解等价于在上有解，所以，由在上单调递增得在上有解，即在上有解，所以，即.所以，实数m的最大值为.故选：A8．已知为函数的零点，，，则、、的大小关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对、，同时进行6次方运算，利用的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：.对、，同时进行3次方运算，利用的单调性比较大小；对、b，同时进行平方运算，利用的单调性比较大小.【详解】因为，，所以，，所以.因为在上单增，所以.因为为函数的零点，所以因为为增函数，为增函数，所以为增函数，所以有且仅有一个零点a.又，因为，所以,所以；，因为，所以，所以；由零点存在定理，可得：.所以，，所以.因为在上单调递增，所以因为，所以，而，所以.因为在上单调递增，所以所以.故选：B 二、多选题9．下列叙述中正确的是（    ）A．B．若，则C．已知，则“”是“”的充要条件D．命题“，”的否定是“，”【答案】ABD【分析】对于A，利用子集的定义即可判断；对于B，利用并集和补集的定义即可判断；对于C，举反例即可判断；对于C，全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断【详解】对于A：集合中包括0，故，故A正确；对于B：若，说明集合A和B中均包括元素x，则，故B正确；对于C：已知，当时，满足，而，所以“”是“”的充要条件为假命题，故C错误；对于D：由全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“，”的否定是“，”，故D正确．故选：ABD10．以下结论正确的是（    ）A．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点；B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强C．已知随机变量服从二项分布，若，，则D．设服从正态分布，若，则【答案】BCD【分析】根据回归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D.【详解】对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误；对于B，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确；对于C，因为随机变量服从二项分布，且，，则，解得：，故选项C正确；对于D，若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，若，则，所以，故选项D正确.故选：.11．已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项，可的，再根据和等差数列通项公式，可求出等差数列的公差为，进而求出，即可判断选项A正确；根据可得，即再利用裂项相消法即可求出，进而判断B是否正确；根据可得，，可证数列是首项为，公差为的等差数列，又相当于数列前项和，由此即可求出结果，进而判断C是否正确；根据可得，分别求出正自然数在区间，，中的通项公式，以及时的值，再求，即可判断D是否正确.【详解】由为等差数列的前项和，所以，即；又，设等差数列的公差为，所以，所以，所以，故A正确；由选项A可知，所以，所以，故B错误；由选项A可知，所以，，所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以 ，故C正确；由选项A可知，当且时，；当且时，；当且时，；当时，；所以，故D正确.故选:ACD.12．关于函数，下列说法正确的是（    ）A．B．C．不等式的解集为D．若存在实数满足，则的取值范围为【答案】BCD【分析】根据给定条件计算判断选项A，B；解不等式判断选项C；作出函数的图象与直线，数形结合计算判断D作答.【详解】因函数，则，，A不正确；，，B正确；当时，，则不等式化为，解得，的解集为，C正确；因存在实数满足，令，则方程有4个互异实根，即函数的图象与直线有4个公共点，作出函数的图象与直线，如图，因当时，，则，又在上的图象关于直线对称，在上的图象关于直线对称，因此有：，则，而函数在上递增，则有，所以的取值范围为，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 三、填空题13．设等差数列的前项和为，，则______．【答案】36【分析】根据等差数列的性质，可得，再利用前项和公式与等差中项，即可求得的值.【详解】解：因为数列为等差数列，所以成等差数列，所以，又，即，所以，则.故答案为：.14．函数的零点个数为___．【答案】2【分析】当x≤0时，令函数值为零解方程即可；当x＞0时，根据零点存在性定理判断即可.【详解】当x≤0时，，∵，故此时零点为；当x＞0时，在上单调递增，当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；综上，函数y在R上共有2个零点.故答案为：2.15．已知各项均为正数的数列满足：，前n项和为，且，数列满足对于任意正整数均有，求数列的前66项和为______．【答案】【分析】根据的关系求出数列通项公式，再利用等差数列求和公式求解.【详解】由可得，两式相减得，，则有，因为是各项均为正数的数列，所以，所以，即，所以数列从第二项起为等差数列，且，解得，所以，首项也满足上式，所以，因为，所以数列的前66项和为，故答案为: . 四、双空题16．一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．（1）若为的跟随区间，则______．（2）若函数存在跟随区间，则的最大值是______．【答案】     2；     【分析】根据所给的定义，给合二次函数的性质进行求解即可；根据所给的定义，结合函数的单调性，通过构造新函数，利用新构成函数的性质进行求解即可.【详解】因为为的跟随区间，所以函数的值域为，因为，对称轴为，因此函数在上单调递增，因此根据题中所给的定义有；函数的定义域为：，因为函数存在跟随区间，设跟随区间为：，所以的值域为，而函数是定义域内的递减函数，因此有：，因为，所以，综上，，所以，令，所以，，则有，同理，设函数因为，，所以，因为，所以方程在时，有两个不相等的实数根.因此直线与函数的图象有两个交点，因此有.故答案为：2；【点睛】关键点睛：一是利用因式分解法由得到；二是由得到方程在时，有两个不相等的实数根. 五、解答题17．已知函数，x∈[，9].(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].∴，，∴，∴函数f(x)的值域为；（2）令，即函数的最小值为，函数图象的对称轴为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍）；综上，实数a的值为或.18．为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下.（千克）24568（千克）300400400400500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?附：相关系数公式，参考数据：．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）0.95，答案见解析；（2）700千克．【分析】（1）根据表中的数据先求出，再求，，，然后利用公式求出相关系，再作判断即可，（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将代入回归方程中可求得西红柿亩产量的增加量【详解】解：（1）由已知数据可得，，所以，，，所以相关系数．因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2），，所以回归方程为．当时，，即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．19．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足．(1)求数列、的通项公式；(2)令，证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列基本量代换求出，利用前n项和的定义求出；（2）用错位相减法求和后即可证明.【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为，，所以，解得：，所以.因为数列满足，所以n=1时，有，解得：.当时， ，因为，所以.经检验，对也成立，所以.（2）由（1）知，.记是数列的前项和.则①，①式同乘以得：②，①-②得：，所以因为，所以，所以.20．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．①试证明为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．【答案】(1)分布列见解析，(2)①证明见解析；② 【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.【详解】（1）解析1：分布列与期望依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列为：X0123P 期望．（1）解析2：二项分布依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：X0123P 期望．（2）解析：递推求解①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．②由①可知，，，故．21．已知等比数列{}的各项均为正数，，，成等差数列，，数列{}的前n项和，且.(1)求{}和{}的通项公式；(2)设，记数列{}的前n项和为.求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，解得．由，利用通项公式解得，可得．由数列的前项和，且，时，，化简整理即可得出；（2），利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论．【详解】（1）设等比数列的公比为，，，成等差数列，，即，化为：，解得．，，即，解得，．数列的前项和，且，时，，化为：，，数列是每项都为1的常数列，，化为．（2）证明：，数列的前项和为，．22．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明 【答案】（1）（2）见解析【详解】试题分析：（1）根据条件先确定总事件数为，而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为，最后根据古典概型的概率公式即可求概率；（2）先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为，所对应的概率，再根据数学期望公式得，利用性质，进行放缩变形：，最后利用组合数性质化简，可得结论．试题解析：解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: . (2) 随机变量 X 的概率分布为: X……P…… 随机变量 X 的期望为：.所以.点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．