第四章 数列（专题详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第二册）

这是一份数学选择性必修 第二册全册综合随堂练习题，文件包含第四章数列-专题详解-高二数学考点知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第二册解析版docx、第四章数列-专题详解-高二数学考点知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
第四章数列一、数列基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．例：1．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件   B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件    D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前项和为________．3．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（       ）A． B． C． D．二．等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：①；②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、等差数列的前项和的公式公式：①；②．公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，）．③，，成等差数列．6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：是等差数列②中项法：是等差数列③通项公式法：是等差数列④前项和公式法：是等差数列题型一：等差数列及其通项公式例1：1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．题型二：等差中项例2：（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．1602.（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（       ）A． B．1 C．2 D．4题型三：等差数列的性质及函数特性例3：1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））设为等差数列{an}的前n项和，若，则（　　）A． B． C． D．2．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.  题型四：等差数列的前n项和例4：1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（       ）A．-110 B．-115 C．110 D．1152．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．  题型五：等差数列an和sn的关系例5：1．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则（       ）A．72 B．74 C．75 D．762．（2022·北京·一模）已知数列的前项和，则是（       ）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列题型六：等差数列前n项和性质及函数特性例6：1．（2022·北京市八一中学一模）若数列的前n项和，，2，3，…，则满足的n的最大值为___________.2．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块题型七：等差数列的简单应用例7：（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（       ）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒题型八：等差数列综合例8：1．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（       ）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项2．（2020·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．三．等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．（2）符号表示：2、通项公式（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．（2）、通项公式的变形：①；②．3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。4、等比数列性质若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．5、等比数列的前项和的公式：（1）公式：．（2）公式特点：（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．②．③，，成等比数列（）．6、等比数列判定方法：①定义法：为等比数列；②中项法：为等比数列； ③通项公式法：为等比数列；④前项和法：为等比数列。题型一：等比数列的定义例1：1．（2022湖南衡阳·二模（文））已知数列为等比数列，且，，则A．8 B． C．64 D．举一反三1．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）“数列为常数列”是“数列为等比数列”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021·新疆昌吉·模拟预测（文））在公比为的等比数列中，前项和，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：等比中项例2：（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．  题型三：等比数列的通项例3：1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（       ）A．14 B．12 C．6 D．32．（2020·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（       ）A．256 B．-256 C．512 D．-512题型四：等比数列的前n项和例4：1．（2019·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．2．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.  题型五：等比数列的性质例5：1．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（       ）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（       ）A．7 B．8 C．9 D．10题型6：等比数列的函数特征例6：1．（2022·北京八十中模拟预测）等比数列中，公比为q，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件2.（2022·江苏苏州·模拟预测）在正项等比数列中，，记数列的前项的积为，若，请写出一个满足条件的的值为__________．题型七：等比数列的前n项和与通项的关系例7：1．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：． 题型八：等比数列的应用例8：（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（     ）年其投入资金开始超过万元. （参考数据：，，）A． B． C． D．题型九：等比数列综合1．（2022·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；     ②为等比数列；③为递减数列；            ④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．四．数列的通项求法知能要点1、求通项公式的方法： (1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．一，观察法 例1：1．数列的第10项是（    ）A． B． C． D．2．数列-1，3，-5，7，  -9， 11，x，15，  -17…中的x等于（    ）A．12 B．-13 C．14 D．-153．写出下面各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)，，，，，…；(3)－1，，－，，－，，…；(4)3,33,333,3 333，….  二，公式法1、等差数列公式          推论公式： 例2：1.已知是等差数列.（1）若，求.（2）若，求的通项公式.（3），求. 2等比数列公式       推论公式：2．在等比数列中，，．求的通项公式．  三：累加法  （ 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3:1.已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求出数列通项公式   已知数列满足，，求。  四、  （累乘法）   解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4:1.．若数列满足，，，求数列通项公式.   已知a1＝1，an＝an－1(n≥2)。求数列{an}的通项公式． 5.构造等比数列(其中p，q均为常数，且)。例5:1.已知a1＝1，an＋1＝3an＋2.求数列{an}的通项公式．  2．已知数列满足，，求. 六、构造等差数列例6:1．在数列中，，.求数列的通项公式；  2、已知数列中，,，求。  七．递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用例7:1．已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 2．设数列的前项和，求此数列的通项公式. 八、 倒数法一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 例8、数列中，，，求.九、 对数法例9：、若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.  五．求数列前n项和常用方法 (1)公式法：等差数列①   例1：（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（       ）A．-110 B．-115 C．110 D．115例2：（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______． (2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：①           ②③④⑤例3：（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．   (3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) .例4：（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列满足，，其前n项和为．数列满足．(1)求．(2)求数列的前n项和． (4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .例5：（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数，等差数列满足，则__________．   (5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例6：（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）A． B．C． D． （6）分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．例7：在数列中，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求． （7）奇偶分析求和法例8：（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ）A．351 B．353 C．531 D．533（8）其它求和法例9：（2022·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.