第16讲《阅读理解型问题》第3课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第16讲“阅读理解型问题”.（第三课时）
［教学目标］
知识技能
1.经历探究阅读理解型问题的一般题型、一般解题策略的过程，掌握解决阅读理解型问题的基础知识和基本技能；
2.参与阅读理解型问题探究活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决数学活动经验.
数学思考
通过独立思考、合作交流，培养孩子获得新信息、新知识、新方法就，并进行知识迁移，建模应用的能力.
问题解决
1.获得解决问题和分析问题的基本方法；
2.学会与他人合作交流，培养评价与反思的意识.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.养成认真勤奋、独立思考、合作交流，反思质疑等学习习惯.
[教学重点、难点]
重点：阅读理解型问题的基本策略方法.
难点：通过独立思考、合作交流，培养孩子获得新信息、新知识、新方法就，并进行知识迁移，建模应用的能力.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
选讲
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积． 小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：分三题
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ．a
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为 ．
解析
（1）正方形MNPQ
求出拼成的正方形面积，进而得到边长.
（2）S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF 涂色
如题图2所示，将四个虚线小等腰直角三角形的面积之和进行转化，
据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．列方程求出AD的长度．
师：参考答案：
（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为，
每个等腰直角三角形的面积为：=，
则拼成的新正方形面积为：4×=，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×=2.
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=，
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°==，
∴S△RSF=•=．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=，SD=2ND=2ADcs30°=，
∴S△ADS=SD•AN=．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×， ∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴解得x=或x=-（不合题意，舍去）
∴x=，即AD的长为．
师总结：通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．这一类阅读问题通常是先发现并提出问题，给出阅读提示，明确研究方向，得出特殊结论；再运用类比方法，探索规律，揭示内涵，得出更为一般的结论，最好运用一般的结论解决问题．
（选做）
如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM、ON交于A、B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA· OB=OP2.我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.分三题
如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶
点的角的两边分别与射线OM、ON交于A、B两点，且∠APB=135°.
求证：∠APB是∠MON的智慧角.
解析：图2 △AOP与△POB涂色
证明△AOP与△POB相似，得出对应边成比例，即可得出结论；
如图1，已知∠MON=ɑ（0°＜ɑ＜90°），OP=2.若∠APB是∠MON的
智慧角，连接AB，用含ɑ的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面
积.
解析：连接AB. △AOP与△POB涂色.
证明△AOP与△POB相似得出∠APB=180°-a .
下一步 过点A作AH⊥OB于点H. △AOB涂色
过点A作AH⊥OB于点H.
由三角形的面积公式可得出S△AOB=2sina;
如图3，C是函数（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分
别交x轴和y轴于A、B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
解析：设点C（a，b），则ab=3，分两种情况进行讨论.
①当点B在y轴正半轴上，②当点B在y轴负半轴上.
师：参考答案
（1）证明：
∵∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，
∴===.
∵，
∴.
∵，
∴,∴.
∴.∴，即.
∴∠APB是∠MON的智慧角.
（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴，即.
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴.
∴.∴.
∴.
如答图1，过点A作AH⊥OB于点H，
∴.
∵，∴.
（3）设点，则.如答图，过C点作CH⊥OA于点H.
①当点B在轴的正半轴时，
如答图2，当点A在轴的负半轴时，不可能.
如答图3，当点A在轴的正半轴时，
∵，∴.
∵∥，∴.∴.
∴,.∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.
②当点B在轴的负半轴时，如答图4.
∵，∴.
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴.
∴.∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.
综上所述，点P的坐标为或.