高中数学高考课后限时集训56 圆锥曲线中的范围、最值问题 作业

圆锥曲线中的范围、最值问题

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1．(2019·开封模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等比数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．

[解]　(1)由已知可得解得

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．

与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.

可得线段AB的中点为N.

当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.

当k≠0时，直线MN的方程为y＋＝－，

化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.

所以m＝＝∈.

综上所述，m的取值范围为.

2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

(1)若＝2，求直线AB的斜率；

(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①

因为＝2，所以y1＝－2y2.②

联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.

所以直线AB的斜率是±2.

(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.

因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|

＝

＝4，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.

3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左焦点为F1，点 A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A′，求△F1A′B面积的最大值．

[解]　(1)∵e＝＝，∴a2＝2c2.

又a2＝b2＋c2，∴b＝c.

∴当直线AF1的斜率为1时，直线AF1通过椭圆的上顶点，

∴a＝|AF1|＝.

又a2＝2c2，b＝c，∴b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)∵A在x轴上方，∴直线AB的斜率不为0.

设直线AB的方程为x＝my－1.

∵F1，A′，B三点能构成三角形，

∴直线AB不垂直于x轴，∴m≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′的坐标为(x1，－y1)．

联立消去x得(my－1)2＋2y2＝2，即(2＋m2)y2－2my－1＝0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝－.

如图，S△F1A′B＝S△BAA′－S△F1AA′＝|AA′||x2－xF1|＝y1|x2＋1|＝y1|my2|＝|my1y2|＝＝≤＝，

当且仅当＝|m|，即|m|＝时取等号．

∴△F1A′B面积的最大值为.