高中数学高考考点22 利用导数研究函数的极值和最值（原卷版）

这是一份高中数学高考考点22 利用导数研究函数的极值和最值（原卷版），共6页。
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A．1＋ln 2 B．1－ln 2
C.eq \f(1＋ln 2,2) D.eq \f(1－ln 2,2)
2、函数f (x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
3、设函数f (x)＝eq \f(2,x)＋ln x，则( )
A．x＝eq \f(1,2)为f (x)的极大值点
B．x＝eq \f(1,2)为f (x)的极小值点
C．x＝2为f (x)的极大值点
D．x＝2为f (x)的极小值点
4、已知a为函数f (x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
5、函数的极大值是正数，极小值是负数，则的取值范围是________．
考向一 利用导数研究函数的极值
例1、已知函数，求函数的极大值与极小值．
变式1、已知函数f(x)＝eq \f(1,x)＋lnx，求函数f(x)的极值．
方法总结：(1)求函数极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③解方程，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．
(2)若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
考向二 利用导数研究函数的最值
例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
变式1、已知，函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值．
变式2、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
考向三 极值（最值）的综合性问题
例3、已知函数在处取得极大值为2.
(1) 求函数的解析式；
(2) 若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．
变式1、已知函数f(x)＝eq \f(ax2＋bx＋c,ex)(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数（是自然对数的底数）.
（Ⅰ）讨论极值点的个数；
（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：.
方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；
2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．
1、（2017年高考全国Ⅱ卷理数）若是函数的极值点，则的极小值为
A．B．
C．D．1
2、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，则的最小值是_____________．
4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a≠0）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值．
5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．