第11讲第2课时《用函数的观点看方程（组）与不等式》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

方案说明

一 、课前谈话：

欢迎大家走进佳—数学思维训练课堂，在这里大家感受到学习的快乐，上一讲我们学习了一次函数的相关内容，今天我们将来学习用函数的观点来看一下方程（组）与不等式，理清一次函数与一元一次方程的关系.

师：数学源于生活，服务于生活，在现实生活中有太多的事情需要我们用数学知识：用函数的思想来解决，大家讨论一下，来举一些例子.

生讨论，列举.

师：这里也有一个实例，我们一起来看一下：

某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购买1个书包，赠送1支水性笔；②购买书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价为20元，水性笔每支定价为5元，小丽和同学需要买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）.

（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；

（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

（3）小丽和同学需要买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.

小亮：（1）设按优惠方法①购买需用y1元，按优惠方法②购买需用y2元，则y1=(x-4)×5+20×4＝5x+60,y2=(5x+20×4）×0.9＝4.5x+72.

小萍：（2）设y1＝y2,即5x+60＝4.5x+72,解得x=24,

∴当x＞24且x为整数时，选择优惠方法②；

当x=24时，选择优惠方法①②均可；

当4≤x＜24且x为整数时，选择优惠方法①.

小颖：（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，

购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60＝120（元）；

购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，需要20×4＝80（元），同时获赠4支水性笔；用优惠方法②购买8支水性笔，需要5×8×90％＝36（元），共需80+36＝116（元），显然116＜120，所以最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔，再用优惠方法②购买8支水性笔.

二、自主探究，合作交流

师：下面我们首先来看一下一次函数与一元一次方程及二元一次方程（组）分别有什么关系？

回顾：

1. 一次函数与一元一次方程的关系：（下一步）

任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k,b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例，这就是说，在y=kx+b中，当y=0时，即为一元一次方程.（下一步）

2. 一次函数与二元一次方程（组）的关系：（下一步）

（1）任何二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数，且a≠0,b≠0)都可以化为y=-x+ 的形式，所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数；（下一步）

（2）从“数”的角度看，解方程组相当考虑求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线的交点坐标.

师：下面我们来看几道例题：

初步性问题

探究类型之一   一次函数与一元方程（组）

例1   把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（     ）

A.1<m<7         B.3<m<4         C.m>1          D.m<4

师：如何求字母系数的取值范围？

生：解析式法，联立两条直线的解析式求交点坐标.

师：还有别的方法吗？

生：数形结合，利用函数图象及平移的性质求.

师：（1）函数图象平移法则：上加下减，左加右减；

（2）两直线的交点坐标是两直线的解析式组成的二元一次方程组的解；

（3）点（x，y），第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；

第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0.

解析1：直线y=-x+3向上平移m个单位后的解析式为y=-x+3+m；

（下一步）解方程组得（下一步）

因为交点在第一象限，故即解得m>1.

解析2：数形结合（动图）

答案：C

探究类型之二  一次函数与一元一次不等式

例2  如图，在平面直角坐标系中一次函数y=-x+6的图象分别交x、y轴于点A,B，与一次函数y=x的图象交于第一象限内的点C．(分两道题出示)

（1）分别求出A,B,C的坐标；

（2）求△AOC的面积．

师：如何求点的坐标？

生：因为点A,B是直线y=-x+6与坐标轴的交点，所以求A点的坐标令y=0,求B的坐标，令x=0；两直线的函数解析式组成的二元一次方程组的解即为C点的坐标.

师：如何求三角形的面积？

生：利用三角形的面积公式，S△AOC=×AO×Cy(Cy为点C的纵坐标)

师：图象信息问题的重点是观察图象，从中获取信息，并且要常常进行“数”与“形”之间的转换，如函数图象如何转化为函数解析式，图象中的信息如何转化为数据.

（1）解析：分别令x，y为0，可得B、A两点坐标，

（下一步）把y=-x+6和y=x联立,通过解方程组，即可得C点的坐标.

答案：

解：（1）令x=0，得y=6，∴点B的坐标为（0，6）.

令y=0，解得x=12，∴A点的坐标为（12，0）.

∵一次函数y＝-x+6的图象与一次函数y=x的图象交于点C，

∴解得∴点C的坐标为（4，4）．

（2）解析：用手动画：过点C作CH⊥OA，然后出示文字： S△AOC=×AO×Cy(Cy为点C的纵坐标)．

答案：

由（1）得，OA=12，（答案中保留解析中的辅助线）

由图象知S△AOC=×AO×Cy=×12×4=24．

类似性问题

1.体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若点（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式分别是（      ）

A.y=x+9与y= x+           B.y=-x+9与y=x+

C.y=-x+9与y=-x+         D.y=x+9与y=-x+

解析：

根据“进球总数为49个”得方程2x+3y=49-5-3×4-2×5=22，整理得y=-x+.（下一步）

根据“20人一组进行足球比赛”得方程1+5+x+y+3+2=20，整理得y=-x+9．

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

初步性问题

探究类型之二 一次函数与一元一次不等式

例3  如图，函数=｜x｜，=x+，当＞时，x的取值范围是（       ）

A. x＜-1            B. -1＜x＜2

C. x＜-1或x＞2     D. x＞2

师：如何求自变量的取值范围？

生： ＞表现在图象上为直线在折线的下方.

师：两直线的交点坐标可以看作两个一次函数解析式所组成的方程组的解.

解析：＞的实际意义是=｜x｜的图象在=x+的图象上方部分.

（下一步）动画用手描图（作图）

（下一步）标上（-1，1），和（2,2）

（下一步）函数=｜x｜的图象在函数=x+的图象上方部分对应的x的范围是x＜-1或x＞2.

答案：C

类似性问题

2. 如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（-3，0），B（0，5）两点，则不等式-kx-b＜0的解集为（      ）

A. x＞-3          B. x＜-3

C. x＞3           D. x＜3

解析：动画：将“-kx-b＜0”圈起来，然后出示箭头：kx+b＞0（下一步）

动画：用手画出图中粉色的线，然后出示文字：kx+b＞0对应的解集即直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围，

（下一步）观察图象可知x＞-3.

答案：A

3.如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点

P（1，m),则不等式组mx＞kx+b＞mx-2的解集是________.

学生独立完成，师注意提示学生：利用数形结合的方法来做.

解析：画出直线y=mx-2如图所示（动画）.

(下一步)动画画图：

（下一步）

把（1，m)坐标代入y1=kx+b得k+b=m，又∵b=2,∴m-k=2，

联立方程组解得x==2.（下一步）

（下一步）综上可知不等式组mx＞kx+b＞mx-2的解集是1＜x＜2.

答案：1＜x＜2

三、总结反思，拓展升华

这节课我们主要学习了不等式组解法的相关知识，同学们自己思考掌握的怎么样？还有哪些地方需要努力。

教师引导学生寻找信息；尝试解答。（假如解决有困难，可以在第一课时讲解完成后，学生独立解答）

老师带领学生来总结函数图象平移法则

；

学生相互交流；

尝试解答