河北省保定市雄县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份河北省保定市雄县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省保定市雄县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．“人教版数学九年级上册课本共页，翻开该课本，恰好翻到第页”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：“人教版数学九年级上册课本共页，翻开该课本，恰好翻到第页”，这个事件是随机事件，
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据与y轴交点坐标的特点求解即可．
【详解】解：，
当时，，
∴与轴的交点坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
4．如图，已知直线，若，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线分线段成比例定理得到，代入数值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的应用是解题的关键．
5．将一元二次方程化成的形式，则b等于（    ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】先移项，再在方程的两边都加上1， 配方后可求解的值，从而可得答案．
【详解】解：∵，
移项得： ，
，
，
．
故选B．
【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键.
6．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．点在该反比例函数的图象上
B．在每一个象限内，随的增大而减小
C．该函数的图象与坐标轴无交点
D．当时，
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质依次判断即可．
【详解】解：A、当时，，故点不在该反比例函数的图象上，选项错误，不符合题意；
B、，在每一个象限内，随的增大而增大，选项错误，不符合题意；
C、该函数的图象与坐标轴无交点，选项正确，符合题意；
D、当时，，
∴时，，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查反比例函数的基本性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题关键．
7．某校连续三年开展植树活动，第一年植树棵，第三年植树棵，设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的运动高度（米）与运动时间（秒）之间的解析式是，则小球运动到最高点时的高度是（　　）
A．30米 B．35米 C．36米 D．45米
【答案】D
【分析】将解析式配方，根据顶点式，得出顶点坐标即可求解．
【详解】解：∵，，
∴当时，取得最大值，为
∴小球运动到最高点时的高度是45米，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据顶点式求得顶点坐标是解题的关键．
9．如图，为的切线，切点为，交于点，是上的点，连接，，，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由为的切线，可知，然后根据在同圆中圆心角等于圆周角的二倍即可得出结论．
【详解】∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
10．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在边上，则的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】利用旋转的性质，得到，，，得到为等边三角形，进而得到，利用，即可得解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，，，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
11．某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为（千元），付款月数（为正整数），选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．
【详解】解：由题意得，即，
故y是x的反比例函数，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题关键．
12．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（点不与点，重合），，交于点，则下列一定与相似的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据等边三角形的性质得到，，然后根据角的和差关系得到，即可证明出．
【详解】∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，等边三角形的性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
13．如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【详解】解：连接，

由已知可得，，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴弓形的面积，
∴阴影部分的面积=，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知，弓形的高度（是的中点），现设计安装玻璃，则所在的半径为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂径定理可得， 再表示出OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵弓形的跨度，为弓形的高，是的中点，
∴于，
∴，
设圆的半径为，
∵弓形的高，
∴，，
在中，由勾股定理可知∶
，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答是解题的关键．
15．如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论正确的有（　　）
①；②；③（是任意实数）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】由抛物线开口向下得到；抛物线对称轴直线得到，由抛物线与轴交点在轴上方得到，由此得出结论①．由图象可知当时，，由此可得出结论②．根据二次函数最值问题，得到时，有最大值，变形可得到结论③．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴直线，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
∴，
∴，故①错误．
当时，，即，
∴，所以②不正确．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当，有最大值，
∴，
∴，所以③正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解决本题的关键．
16．下面是两位同学对一道习题的交流，下列判断正确的是（　　）
在中，，，，是边上一点，且，点在边上，
连接，若以A，，为顶点的三角形与相似，求的长．
：如图，∵，∴．
∵，，，，∴．

：小明的解答过程中比例式写错了，并且小明考虑的不周全．

结论Ⅰ：上述过程中，比例式应改为；
结论Ⅱ：小明考虑的不周全，在另一种情况下，的长度为A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
【答案】D
【分析】分两种情况分析；，，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图所示：

∵，
∴．
∵，，，，
∴
；
故结论Ⅰ正确；
第二种情况：如图所示：

∵，
∴．
∵，，，，
∴
；
故结论Ⅱ正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用相似三角形的性质求解，结合图形进行分类讨论是解题关键．

二、填空题
17．在一个不透明的口袋中装有12个白球，16个黄球，24个红球，28个绿球，除颜色不同外其余都相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在0.3左右，则小明做试验时所摸到的球的颜色是______．
【答案】红色
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手解答即可．
【详解】解：共有个球，
∵白球的概率为：，
黄球的概率为：，
红球的概率为：，
绿球的概率为：，
∴小明做实验时所摸到的球的颜色是红色，
故答案为：红色．
【点睛】本题考查利用频率估计概率问题，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式解答．
18．如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为．

（1）与___________；（填“位似”或“不位似”）
（2）屏幕图形的高度为___________．
【答案】     位似    
【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知：

，
，
与位似．
故答案为：位似．
（2）过点作于点，线段的延长线交与点，

，，
，
由题意：，，，
由（1）得，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．如图，已知直线与，轴分别交于A，两点，并与反比例函数的图象分别交于点，．

（1）的值为___________；的值为___________；
（2）将直线沿轴向上平移，若平移后点，的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上，则的值为___________．
【答案】     4     1     36
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中求得的值；由已求得的的值，得到反比例函数的解析式，把D的坐标代入反比例函数式中可求得a的值；
（2）用待定系数法可求得直线的解析式，则可求得点A的坐标；设直线向上平移的距离为n，则可得平移后点A、D的坐标，代入中，即可求得m的值．
【详解】（1）解：由题意知，点C的坐标代入反比例函数解析式中得：，
即反比例函数的解析式为；
由于点D在的图象上，故有，解得；
故答案为：4，1；
（2）解：由（1）知，点D的坐标为，
由于直线过点C、D，则有，
解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，得，
即点A的坐标为；
设直线向上平移n个单位长度，则平移后点A、D的坐标分别为，上述两点坐标分别代入中，得：，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，点与函数图象的关系，点的平移等知识，掌握上述知识是解题的关键．

三、解答题
20．用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）利用因式分解法解答即可．
（2）提公因式，然后解方程即可得出结果．
【详解】（1）方程可化为：，
因式分解得：，
得到：或，
解得：，．
（2），
提公因式得：，
化简得：，
得到：或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
21．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．

(1)在图中标出与的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；
(2)若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的相似比为2（只画出一个三角形即可）．
【答案】(1)见解析；M点的坐标为
(2)见解析

【分析】（1）连接、、，它们的交点即为M点，写出M点的坐标即可；
（2）把、、点的横纵坐标都除以2或得到点、、坐标，然后描点即可．
【详解】（1）解：如图，点M为所作，M点的坐标为；

（2）解：如图，为所作．
【点睛】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者，也考查了位似的性质．
22．如图，已知，是直线：和双曲线：的两个交点，直线与轴交于点．

(1)分别求直线与双曲线的解析式；
(2)求；
(3)当时，直接写出的取值范围___________；
【答案】(1)，
(2)3
(3)或

【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）用切割法，把三角形分为两个三角形和,分别求出后求和即可；
（3）数形结合即可得出的取值范围．
【详解】（1）将代入中，解得，∴双曲线的解析式为；
将代入中，解得，即点的坐标为．
将，代入中，解得，，
∴直线的解析式为；
（2）由题意得点的坐标为，

（3）如图，

∵要使，即一次函数的图象位于反比例函数下侧，对应的图象加粗表示，对应的横坐标也加粗表示
∴或；
故的取值范围是或．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，数形结合思想是解决问题的关键．
23．现有甲、乙两个不透明的布袋，各装有3个完全相同的小球，甲袋中的小球上分别标有数字，2，5，乙袋中的小球上分别标有数字3，，．小明从甲袋中随机摸出一个小球，记下数字为，小惠从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为．

(1)小惠从乙袋中随机摸出的小球上的数字是负数的概率为___________；
(2)已知关于的一元二次方程，补全如图所示的树状图，并求方程有实数根的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，再分别计算每种情况下的，找出符合条件的情况数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：乙袋中一共有3个数，负数有两个，
∴小惠从乙袋中随机摸出的小球上的数字是负数的概率为．
故答案为：．
（2）如图；

共有9种等可能的情况，其中方程有实数根的情况有7种，
∴方程有实数根的概率为．
【点睛】本题主要考查了根据树状图求概率以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握树状图的画法以及一元二次方程有实数根时．
24．如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．

(1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
(2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
(3)已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
【答案】(1)等边
(2)
(3)①或，②

【分析】（1）先证明为等边三角形，得出，再根据平行线的性质得出，即可得出结果；
（2）连接，根据切线性质得出，根据等边三角形的性质，得出，，利用三角函数求出，求出劣弧长度，进行比较即可；
（3）①根据圆周角定理，分两种情况求出结果即可；
②根据切线性质结合勾股定理得出，从而得出当的长度最短时，的长取得最小值，根据等边三角形的性质和勾股定理求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：连接，
∵与与相切，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
即当时，直线与相切；
∵取3，
∴，
∵，
∴，
∴线段的长度更长；

（3）解：①根据解析（1）可知，，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
综上所述，的度数为或；
②∵与相切，
∴，
∴，
当的长度最短时，的长取得最小值，
∴当时，的长取得最小值，如图所示：

∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本性质和定理．
25．【初步探索】

(1)如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．
(2)当的面积达到最大时，的度数为__________
(3)根据图2，求证：；
(4)根据图2，求的度数；
【类比应用】
(5)如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)
(5)

【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等两三角形相似即可得出结论．
（2）一定，，因此当最大时，的面积最大，因此当时，取最大值，此时的面积最大．即可得出的度数．
（3）由，，可得,得，，得出即可得出结论．
（4）由可得，由即可得出结论．
（5）连接、，在和中，根据勾股定理，，由此可知，，由，可得，由，可得即可得出结论．
【详解】（1）∵、，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）∵一定，，因此当最大时，的面积最大，由题意得时，取最大值，此时的面积最大，
∴,
∵，，
∴，
∴旋转角，
故答案为：．
（3）∵、、，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
（4）∵，
∴，
∴
，
即的度数为115°．
（5）连接，．如图，

在和中，由勾股定理,，
∴，
，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形面积的最大值，矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
26．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧．

(1)求的值；
(2)若将抛物线进行平移，使平移后的点与原点重合，并且在轴上截取的线段长为6，求平移后的抛物线解析式；
(3)将抛物线在轴左侧部分沿轴翻折，并保留其他部分得到新的图象．
①当，且时，求的取值范围；
②如图，已知点，，当线段与图象恰有两个公共点，且时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①或，②

【分析】（1）根据抛物线对称轴，即可作答；
（2）设平移后的抛物线的解析式为，根据平移后的抛物线在轴上截取的线段长为6，可得平移后的点的坐标为，代入即可求解；
（3）①将代入，可得，解方程，可得，．再根据轴对称的性质可得关于轴对称的抛物线解析式为，当时，解得，，问题得解；②先求出关于轴对称的抛物线解析式为，再分类讨论：当经过点时；当经过点时；当时，图象与线段至多有一个公共点，画出图象，数形结合即可作答．
【详解】（1）∵，
∴，即的值为；
（2）∵平移后的点与原点重合，设平移后的抛物线的解析式为．
∵平移后的抛物线在轴上截取的线段长为6，
∴平移后的点的坐标为．
将代入中，解得，
∴平移后的抛物线解析式为；
（3）①∵，
∴，
令，
解得，．
∵关于轴对称的抛物线解析式为，
当时，
解得，，
∴当时，的取值范围为或；
②的取值范围为．理由如下：
关于轴对称的抛物线解析式为，
如图1，当经过点时，解得．
当时，，
当时，，
即线段与抛物线有2个交点．
当时，，
当时，，
即线段与抛物线有1个交点．
综上，当时，线段与图象有三个公共点．
如图2，当经过点时，
解得，
∴，
当时，，
即线段与抛物线有一个交点，
∴时，线段与图象恰有两个公共点．
如图3，根据图象，当时，图象与线段至多有一个公共点．
∴时，线段与图象恰有两个公共点．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的综合，以及轴对称图象的性质等知识，根据轴对称的性质得出关于轴对称的抛物线解析式为，是解答本题的关键．