吉林省长春市德惠市第九中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

吉林省长春市德惠市第九中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各式：，，，，，其中分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据分式的定义进行判断即可．

【详解】解：分式有，，共2个，

故选：B．

【点睛】本题考查了分式的定义，明确分式的定义是解题的关键，式子（A，B是整式）中，分母B中含有字母，则为分式．

2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分式的分母不能为0即可得．

【详解】解：由题意得：，

解得，

故选：D．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．

3．分式，，的最简单的公分母是（　　）

A．6x2y B．12x2y4 C．36x2y4 D．72x2y4

【答案】B

【分析】确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

【详解】解：分式，，的最简公分母为．

故答案为：．

故选：B．

【点睛】本题考查了最简公分母通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握.

4．下列各点中，在第四象限的点是（　　）

A．（1，9） B．（﹣7，﹣6） C．（5，﹣8） D．（﹣10，13）

【答案】C

【分析】根据平面直角坐标系内每个象限内点的坐标符号即可得出结论．

【详解】解：∵点在第一象限，

∴A选项不符合题意；

∵点在第三象限，

∴B选项不符合题意；

∵点在第四象限，

∴C选项符合题意；

∵点在第二象限，

∴选项不符合题意，

故选：．

【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征是解题的关键．

5．关于x的方程有增根，那么a的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】A

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到，将代入整式方程计算即可求出a的值．

【详解】解：，

去分母得：，

∵分式方程有增根，

∴，即，

把代入，得：

，即．

故选：A．

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

6．下列各式正确的是（　　）

A．x6•x﹣2＝x﹣12＝ B．x5÷x﹣2＝x﹣3＝

C．（xy﹣2）3＝x3y﹣2＝ D．（）﹣1＝

【答案】D

【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂分别计算可得．

【详解】解：A、x6•x﹣2＝x4，此选项错误；

B、x5÷x﹣2＝x7，此选项错误；

C、（xy﹣2）3＝x3y﹣6，此选项错误；

D、（）﹣1＝，此选项正确；

故选D．

【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂的运算法则．

7．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】根据点A、B的坐标判断出AB∥x轴，然后根据三角形的面积求出点C到AB的距离，再判断出点C的位置即可．

【详解】解：由图可知，AB∥x轴，且AB＝3，

设点C到AB的距离为h，

则△ABC的面积＝＝3，

解得h＝2，

∵点C在第四象限，

∴点C的位置如图所示，共有3个．

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的面积，确定C所在的直线是关键．

8．大年三十晚上，小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花炮竹，小六驾车匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后小六加快速度继续匀速行驶，零点之前到达指定燃放地点，燃放结束后，小六按驾车匀速返回．其中，x表示小六从家出发后所用时间，y表示小六离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得离家的距离越来越远，根据途中遇到堵车原地等待一会儿，可得路程不变，根据加速行驶，可得路程变化快，燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，再匀速回家，离家距离越来越近，即可得出结论．

【详解】解：由题意得：离家的距离越来越远，直线呈上升趋势，

根据途中遇到堵车原地等待一会儿，可得路程不变，时间加长，直线呈水平状态，

后来加速行驶，可得路程变化快，直线上升快，

燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，直线呈水平状态，

再匀速回家，离家距离越来越近，直线呈下降趋势．

故选：A．

【点睛】本题考查了函数图象，观察路程随时间的变化是解题的关键．

二、填空题

9．在男子1000米的长跑中，运动员的平均速度v＝，则这个关系式中自变量是___．

【答案】t

【分析】分析：根据函数的定义：设x和y是两个变量，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，我们就说y是x的函数，其中x是自变量．据此解答即可．

【详解】解：在男子1000米的长跑中，运动员的平均速度v＝，则这个关系式中自变量是t，

故答案为：t．

【点睛】本题考查了函数的定义，理解掌握函数的定义是解体的关键．

10．由于自然环境的日益恶化，我们赖以生存的空气质量正在悄悄地变化．净化的空气的单位体积质量为0.00124g/cm3，将它用科学记数表示为____________g/cm3．

【答案】

【分析】根据科学记数法的表现形式：()解答即可．

【详解】解：

故答案为．

【点睛】此题考查了科学记数法，正确掌握科学记数法的计算方法及确定a及n的大小是解题的关键．

11．函数y＝中，自变量x的取值范围是________．

【答案】x≤1

【详解】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可.

详解：

∵二次根式有意义，被开方数为非负数，

∴1 -x≥0，

解得x≤1.

故答案为x≤1.

点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键.

12．若分式的值为0，则x的值为 _____．

【答案】5

【分析】根据分式的值为零的条件求解即可．

【详解】解：由题意可知：，

解得：，

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查分式值为零的条件，熟练掌握相应知识点是解题的关键．

13．已知，则代数式的值为 _____．

【答案】

【分析】将已知等式完全平方，然后根据完全平方公式展开即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．

14．为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小马经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小马现在每分钟阅读的字数．设小马原来每分钟阅读的字数为x字，依题意，可列方程为_____．

【答案】

【分析】小马原来每分钟阅读的字数为x字，根据等量关系：现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同，列出方程即可．

【详解】解：小马原来每分钟阅读的字数为x字，则现在每分钟阅读的字数为（2x+300）字，

由题意，可得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．

三、解答题

15．先化简，再求值：

(1)，其中；

(2)，其中．

【答案】(1)，1

(2)，

【分析】（1）根据平方差公式和提取对分式进行化解，再代入求值即可；

（2）将分式进行通分化解，将除法换算成乘法，即可对分式进行化解，代入求值即可．

【详解】（1）解：

当时，原式；

（2）解：

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用．

16．解方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)无解

【分析】（1）先去分母，再去括号，再移项合并同类项，最后对根进行检验即可；

（2）先去分母，再去括号，再移项合并同类项，最后对根进行检验即可；

【详解】（1）去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，

解得：，

经检验是分式方程的解；

（2）去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，

解得：，

经检验是增根，分式方程无解．

【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是对解进行校验．

17．若分式与分式的值相等，求的值．

【答案】

【分析】根据题意得出分式方程，然后根据解分式方程的步骤即可得出结论．

【详解】解：∵分式与分式的值相等，

∴，

方程两边乘以得，

，

解得，

检验：当时，，

∴是分式方程的解，

即的值为．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．

18．某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折．在这个问题中，当购书数量变化时，付款金额也随之发生了变化．

(1)在这个变化过程中，自变量、因变量是什么？

(2)如果购书数量用x（本）表示，付款金额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为          ？

(3)当购20本书时，付款金额为多少元？

【答案】(1)在这个变化过程中，自变量是购书数量，因变量是付款金额

(2)

(3)当购20本书时，付款金额为144元

【分析】（1）根据函数的定义，可得答案；

（2）根据单价乘以数量等于总价，可得函数关系式；

（3）根据自变量的值，可得相应的函数值．

【详解】（1）在这个变化过程中，自变量是购书数量，因变量是付款金额；

（2）如果购书数量用x（本）表示，付款金额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为，即；

（3）当时，，，

答：当购20本书时，付款金额为144元．

【点睛】本题考查了函数关系式，熟练理解并掌握函数的定义是解题的关键．

19．阅读下列解题过程，回答所提出的问题：

题目：解分式方程：＝

解：方程两边同时乘以得    …A

   …B

解得    …C

所以原方程的解是    …D

(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　   　；

(2)错误的原因是　   　；

(3)应如何订正：

【答案】(1)D

(2)没有验根

(3)见解析

【分析】出错的步骤为最后一步，原因为没有验根，写出正确解题过程即可．

【详解】（1）上述计算过程中，出错的步骤为；

（2）错误原因是没有验根；

（3）检验：时，，即1不是原方程的解．

则原方程无解．

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

20．已知三角形的三个顶点A、B、C的坐标分别是，在下图的平面直角坐标系中表示出来，并根据图形回答下列问题．

(1)点A到x轴的距离为   　，点B到y轴的距离为　   　；

(2)点到x轴的距离为　   　，到y轴的距离为　   　；

(3)若在该平面直角坐标系内有一点，它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，求点P的坐标．

【答案】(1)2，3

(2)2，1

(3)

【分析】根据点的坐标特征分别判断即可．

【详解】（1）∵点A、B的坐标分别是，

∴点A到x轴的距离为：2，点B到y轴的距离为：3．

故答案为：2，3；

（2）∵点，

∴C点到x轴的距离为：2，到y轴的距离为：1．

故答案为：2，1；

（3）∵点，它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，

∴点P的坐标为：．

【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．

21．等腰直角三角形的腰，如图所示，建立平面直角坐标系．点P、Q分别是线段、上的一点，点P的坐标是，．记的面积为S，解答下列问题：

(1)写出S与y之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

(2)写出y与x之间的函数关系．

(3)写出S与x之间的函数关系式，并求出当时，点P的坐标．

【答案】(1)

(2)y与x的函数关系式为

(3)，点P的坐标为（1，5）

【分析】（1）过点P作轴于点C，根据点，利用三角形面积公式，求出S与y之间的函数关系式即可；

（2）过点P作轴于点C，根据点，得出，，证明，利用，即可得出，即；

（3）先用x表示出S，然后再根据，列出关于x的方程，解方程即可得出结果．

【详解】（1）解：过点P作轴于点C，如图所示：

∵点，

∴，，

∵，

∴，

即；

（2）解：过点P作轴于点C，如图：

∵点，

∴，，，

∵是等腰直角三角形，

∴，即，

∴，

∴，

∵即，

∴y与x的函数关系式为；

（3）解：∵，

∴，

即，

∴当时，即，

解得：，此时，

∴此时点P的坐标为．

【点睛】本题主要考查了求函数关系式，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握等腰直角三角形的性质．

22．某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种使用者每月需缴18元月租费， 然后每通话1分钟， 再付话费元； 乙种使用者不缴月租费， 每通话1分钟， 付话费元．若一个月内通话时间为x分钟， 甲、乙两种的费用分别为和元．

（1）试分别写出、与x之间的函数关系式；

（2）在如图所示的坐标系中画出、的图像；

（3）根据一个月通话时间， 你认为选用哪种通信业务更优惠？

【答案】（1） ；；（2）见解析；（3）当上网时间小于45分钟时，选择乙优惠；当上网时间等于45分钟时，两种方式一样优惠；当上网时间多于45分钟时，选择甲优惠；

【分析】（1）分别利用两种收费方式得出函数解析式即可；

（2）利用图象上点的坐标确定函数图象即可；

（3）按①，②，③进行求解．

【详解】解：（1）由题意可得：

； ；  

（2）如下图∶

（3）①时，，

解得：x＞45；

②时，，

解得：；

③时，，

解得：．

∴当通话时间大于45分钟时，选择甲种业务更优惠．

当通话时间等于45分钟时，选择两种业务一样优惠．

当通话时间小于45分钟时，选择乙种业务更优惠．

【点睛】此题主要考查一次函数及应用、图象的画法，一元一次不等式的应用，并体现了分类讨论思想．

23．小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即沿原路按某一速度匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程（米）、（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．

(1)图中　   　，　   　；

(2)求爸爸上山的速度以及小明下山的速度；

(3)求小明的爸爸下山所用的时间．

【答案】(1)，

(2)米/分，米/分

(3)分

【分析】（1）根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸距离山脚下的路程．

（2）由图象可以得出爸爸上山的路程与时间，小明下山的路程与时间，即可得出结论．

（3）求出小明从下山到与爸爸相遇所用的时间，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地，利用下山所用的总时间减去小明独自下山的时间即可得出结论．

【详解】（1）由图象可以得到，，，

故答案为：8，280．

（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：米/分，

小明下山的速度是：米/分，

答：小明爸爸上山的速度是米/分，小明下山的速度是米/分．

（3）∵小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：分，

∴2分爸爸行的路程：米，

∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地，

∴小明的爸爸下山所用的时间：分，

答：爸爸下山所用的时间为14分．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题目的关键是根据图象获得关键的信息．