2022年山东省济南市高考数学二模试卷

这是一份2022年山东省济南市高考数学二模试卷，共18页。试卷主要包含了4的展开式中，常数项为，下列不等关系中一定成立的是等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省济南市高考数学二模试卷

1.（5分）已知i是虚数单位，复数z=(x2-1)+(x+1)i是纯虚数，则实数x的值为(    )
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2
2.（5分）已知集合A={1,2}，B={2,4}，C={z|z=xy,x∈A,y∈B}，则C中元素的个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.（5分）“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.（5分）已知函数f(x)={2x-1,x⩽0x12,x>0，若f(m)=3，则m的值为()
A. 3 B. 2 C. 9 D. 2或9
5.（5分）(2+x)(x+1x)4的展开式中，常数项为()
A. 2 B. 6 C. 8 D. 12
6.（5分）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，AC⏜和BC⏜所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB=θrad，|AC|=b，则AC⏜的长度为()

A. θb2sinθ2 B. θb2cosθ2 C. θbsinθ2 D. 2θbcosθ2
7.（5分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且BD→=2DC→，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则BE→⋅AC→的值为()

A. 14 B. -14 C. 34 D. -34
8.（5分）已知数列11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，……，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为an，则满足an=5且n⩾20的n的最小值为()
A. 47 B. 48 C. 57 D. 58
9.（5分）袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则()
A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B相互独立
C. P(B)=23 D. P(A|B)=12
10.（5分）下列不等关系中一定成立的是()
A. log320)的左、右焦点，点P在双曲线上，若PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则双曲线的离心率为 ______.
15.（5分）在高为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为 ______.
16.（5分）已知函数f(x)=|lnx|+ax+ax(a>0)，则函数f(x)的最小值为 ______；若关于x的方程ex+e-x-|lna-lnxa|-ax=0有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是 ______.
17.（12分）从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图． 
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x-(同一组数据用该区间的中点值作代表)； 
(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于[35,45]内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列．

18.（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，△ABC的面积S=34a. 
(1)求边c； 
(2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．
19.（12分）在底面为正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∠CBB1=60°，AA1=2AB=4. 
(1)证明：B1C⊥A1C1； 
(2)求二面角C-AB-A1的余弦值．

20.（12分）已知{an}是递增的等差数列，a1+a5=18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项． 
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 
(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i=1，2，3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sa.
21.（12分）已知椭圆C的焦点坐标为F1(-1,0)和F2(1,0)，且椭圆经过点G(1,32). 
(1)求椭圆C的方程； 
(2)若T(1,1)，椭圆C上四点M，N，P，Q满足MT→=3TQ→，NT→=3TP→，求直线MN的斜率．
22.（12分）已知函数F(x)=eax-a，a>0. 
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为-1，求a的值； 
(2)是否存在实数t，使得有且仅有一个实数a，当x>0时，不等式f(x)⩾tx恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由．

答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由z=(x 2-1)+(x+1)i是纯虚数，得  
x2-1=0x+1≠0，解得x=1． 
故选B． 
因为x是实数，所以复数z的实部是x2-1，虚部是x+1，直接由实部等于0，虚部不等于0求解x的值．  
此题主要考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的充要条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0且虚部不等于0，是基础题．

2.【答案】C
【解析】解：∵集合A={1,2}，B={2,4}， 
∴z=12=1，z=14=1，z=22=4，z=24=16， 
∴M={1,4,16}，集合C有三个元素， 
故选：C. 
集合A={1,2}，B={2,4}，集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B}，利用列举法求出集合C. 
此题主要考查集合的三要素中的互异性，注意集合A和B，构成了集合C，此题是一道基础题；

3.【答案】A
【解析】解：∵当a=3时，直线3x+y-3=0与直线3x+y+4=0显然平行； 
∴“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的充分条件 
又∵若直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行，则有a3=1a-2≠-34，解之得a=-1或a=3， 
∴反之不一定成立，故必要性不成立 
故选：A. 
根据两条直线平行的条件列式，结合充分必要条件的判断进行正反推理，可得“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的充分不必要条件． 
本题给出两条直线，问a=3是它们平行的什么条件，着重考查了两条直线位置关系的判断和充分必要条件的判断等知识，属于基础题．

4.【答案】C
【解析】解：当x0(x>0)， 
故y=a(ex+e-x)+x是单调增函数， 
由图可知，在x∈(0,a)上y=a(ex+e-x)+x图象和f(ax)=|lnxa|+x+a2x图象有一交点， 
即关于 x的方程ex+e-x-|lna-lnxa|-ax=0有一个实根， 
故需满足在x>a时，二者图象无交点， 
此时ax0)，f(ex)=x+a(ex+e-x)， 
则a(ex+e-x)+x-f(xa)=0，即f(ex)=f(xa)， 
则需满足ex=xa无解， 
对于a=xex， 
令g(x)=xex，g'(x)=1-xex， 
当0a时，二者图象无交点，由此构造函数，分离参数，利用导数，求得答案． 
此题主要考查了利用导数求解函数的最小值以及方程有唯一根的问题，综合性较强，要求思维能力较强，解答时的关键是将方程有唯一根的问题转化为图象有一个交点的问题，数形结合灵活处理．属于难题．

17.【答案】解：（1）由已知得：x-=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×0.020×10=25． 
（2）因为购买一件产品，其质量指标值位于[35，45]内的概率为0.2， 
所以X～B（3，0.2），所以X=0，1，2，3， 
P（X=0）=（1-0.2）3=0.512，P（X=1）=C31×0.2×(1-0.2)2=0.384，P（X=2）=C32×0．22×(1-0.2)=0.096，P（X=3）=0.23=0.008， 
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008

【解析】 
(1)每组区间中点值乘以该组频率，依次相加即可求出平均数． 
(2)由题意可知X～B(3,0.2)，再利用二项分布的概率公式求解． 
此题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．

18.【答案】解：（1）因为A+C=2B，A+B+C=π，所以B=π3， 
所以△ABC的面积S=12acsinB=34ac=34，所以c=1． 
（2）由（1）知B=π3，c=1， 
在△ABC中，由正弦定理知，asinA=csinC， 
所以a=sinAsinC=sin(C+π3)sinC=12sinC+32cosCsinC=12+32tanC， 
因为△ABC为锐角三角形，所以{0＜A=2π3-C＜π20＜C＜π2，解得C∈（π6，π2）， 
所以tanC∈（33，+∞）， 
故a=12+32tanC∈（12，2）．
【解析】 
(1)根据三角形的内角和定理可得B=π3，再由S=12acsinB，得解； 
(2)先利用正弦定理，可得a=sinAsinC，再由sinA=sin(C+π3)，并结合两角和的正弦公式，同角三角函数的商数关系，正切函数的图象与性质，得解． 
此题主要考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，正弦面积公式，两角和的正弦公式是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：（1）证明：在底面为正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中， 
平面ABC⊥平面BCC1B1，∠CBB1=60°，AA1=2AB=4， 
∴CC1=4，B1C1=2，B1C=42+22-2×4×2×cos60°=23， 
∴B1C12+B1C2=CC12，∴B1C⊥B1C1， 
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，∴平面A1B1C1⊥平面BCC1B1， 
∵平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1，∴B1C⊥平面A1B1C1， 
∴A1C1⊂平面A1B1C1，∴B1C⊥A1C1； 
（2）以B1为坐标原点，B1C所在直线为x轴，B1C1所在直线为y轴， 
过B1作平面BCC1B1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 
则A（23，-1，3），B（23，-2，0），C（23，0，0），A1（0，1，3）， 
AB→=（0，-1，-3），AC→=（0，1，-3），AA1→=（-23，2，0）， 
设平面ABC的法向量n→=（x，y，z）， 
则{n→·AB→=-y-3z=0n→·AC→=y-3z=0，得y=z=0，则n→=（1，0，0）， 
设平面ABA1的法向量m→=（a，b，c）， 
则{m→·AB→=-b-3c=0m→·AA1→=-23a+2b=0，取a=1，得m→=（1，3，-1）， 
设二面角C-AB-A1的平面角为θ， 
则cosθ=|m→·n→||m→|·|n→|=15=55， 
∴二面角C-AB-A1的余弦值为55．

【解析】 
(1)由余弦定理求出B1C=23，由勾股定理求出B1C⊥B1C1，从而B1C⊥平面A1B1C1，由此能证明B1C⊥A1C1； 
(2)以B1为坐标原点，B1C所在直线为x轴，B1C1所在直线为y轴，过B1作平面BCC1B1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AB-A1的余弦值． 
此题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：（1）设数列{an}的公差为d，d＞0，数列{bn}的公比为q， 
由已知得{a1+a1+4d=18(a1+2d)2=a1(a1+8d)， 
解得a1=3，d=3， 
所以an=3n； 
所以b1=a1=3，q=a3a1=3， 
所以bn=3n； 
（2）由题意可知新数列{cn}为：b1，b2，b4，b5，...， 
则当n为偶数时 
Sn=（b1+b4+...+b3(n2)-2）+（b2+b5+...+b3(n2)-1）=3(1-27n2)1-27+32(1-27n2)1-27=6(27n2-1)13， 
则当n为奇数时 
Sn=Sn-1+cn=Sn-1+b3(3n-12)-2=6(27n-12-1)13+33n-12， 
综上可得Sn={6(27n2-1)13，n为偶数6(27n-12-1)13+33n-12，n为奇数．
【解析】 
(1)由已知条件列方程组求解即可； 
(2)分两种情况讨论：当n为偶数时，Sn=(b1+b4+...+b3(n2)-2)+(b2+b5+...+b3(n2)-1)，则当n为奇数时，Sn=Sn-1+cn=Sn-1+b3(3n-12)-2，然后求和即可． 
此题主要考查了等差数列、等比数列通项公式的求法，重点考查了公式法求数列前n项和，属中档题．

21.【答案】解：（1）由题意可知，c=1，所以b2=a2-1， 
设椭圆方程为x2a2+y2a2-1=1，将G点（1，32）的坐标代入椭圆方程， 
解得（a2-4）（4a2-1）=0，所以a2=14（舍），a2=4， 
所以椭圆方程为：x24+y23=1； 
（2）设M（x1，y1），Q（x2，y2），N（x3，y3），P（（x4，y4），T（1，1），因为MT→=3TQ→，所以{1-x1=3(x2-1)1-y1=3(y2-1)，可得{x2=4-x13y2=4-y13， 
又M，Q在椭圆上， 
所以x124+y123=1，即14•（4-x13）2+13·（4-y13）2=1， 
即{x124+y123=114·(4-x13)2+13·(4-y13)2=1，作差可得14（2-x1）+13（2-y1）=1；① 
又因为NT→=3TP→，同理可得14（2-x3）+13（2-y3）=1，② 
①②联立14（x1-x3）+13（y1-y3）=0， 
所以y1-y3x1-x3=-34， 
即直线MN的斜率为-34．
【解析】 
(1)由焦点的坐标可得c的值，进而可得a，b的关系，将G点的坐标代入可得a，b的值，进而求出椭圆的方程； 
(2)设M，N，Q，P的坐标，由MT→=3TQ→的关系，可得M，Q的坐标的关系，将M，Q的坐标代入椭圆的方程，可得M的横纵坐标地方关系，同理再由NT→=3TP→，N的横纵坐标的关系，两式联立求出M，N的斜率．求直线MN的斜 
此题主要考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，向量的性质的应用，属于中档题．

22.【答案】解：（1）∵f′（x）=aeax，f′（1）=aea，又f（1）=ea-a， 
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y-ea+a=aea（x-1）， 
即：y=aeax-aea+ea-a， 
由题意知：-aea+ea-a=-1，∴（ea+1）（1-a）=0， 
∵ea+1＞0，∴1-a=0，∴a=1． 
（2）∀x＞0，f（x）≥tx恒成立，即eax-a-tx≥0恒成立． 
令g（x）=eax-a-tx，x＞0，则g′（x）=aeax-t， 
当t≤0时，g′（x）＞0恒成立， 
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增． 
故当x＞0时，g（x）＞g（0）=1-a≥0，只需a≤1即可．与有且仅有一个实数a矛盾，不符合题意； 
当t＞0时，令g′（x0）=0，得x0=1alnta， 
当x0≤0时，即t≤a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）=1-a≥0； 
当x0＞0时，即t＞a时，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 
所以g(x)≥g(x0)=ta-talnta-a≥0， 
综上a≤1，0＜t≤a  ①，1-lnta-a2t≥0，t＞a  ②； 
由题意知，上述不等式关于a有唯一解． 
若t＞1，对于①式，t≤a≤1无解． 
对于②式，令φ(a)=1-lnta-a2t，0＜a＜t， 
φ'(x)=1a-2at=t-2a2at，令φ′（a）=0时，a=t2， 
所以φ（a）在（0，t2）上单调递增，在(t2，t)上单调递减， 
故只需φ(t2)=1-lntt2-t2t=0即可， 
解得t=e2，此时a=e2，符合题意； 
（ⅱ）若t=1，对于①式，a=1， 
对于②式，1-ln1a-a2≥0，当a=12时成立，不合题意； 
（ⅲ）若0＜t＜1，对于①式，t≤a＜1时均成立，不合题意； 
综上所述，当t=e2时，存在唯一的a=e2，使得f（x）≥tx，（x＞0），恒成立．
【解析】 
(1)利用导数的几何意义，通过方程思想求解； 
(2)分类讨论，将恒成立问题转化成最值求解． 
此题主要考查利用导数求切线，利用导数求最值，恒成立问题，属中档题．