九师联盟11月质量检测高三理科数学试题含答案

这是一份九师联盟11月质量检测高三理科数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了已知集合，,则，若,,则是的，已知,,则等内容，欢迎下载使用。
一、选择题1.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于（   ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：因为,所以,即,所以,故在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选D.2.已知集合，,则（   ）A.B.C.D.答案：C解析：由,得或,所以；由,得或,所以,或,从而.故选C.3.榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式,是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.凸出的部分叫做榫(或叫榫头),凹进部分叫卯(或叫榫眼、榫槽).现要在一个木头部件制作一个榫眼,最终完成一个直角转弯结构的部件,那么制作成的榫眼的俯视图可以是（   ）A.B.C.D.答案：B解析：法一：榫眼的形状和榫头一致,故榫眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知榫眼应为通透的,排除AD；又C选项的结构左下方部分缺了一块,这与榫眼的结构不符,符合条件的只有B.故选B.法二：因榫眼的制作部件为长方体,所以C,D不正确；又榫眼应为通透的,所以A不正确.故选B.4.若,,则是的（   ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：由,得,所以,即；由,得,因为,故是的必要不充分条件.故选B.5.已知某圆锥的侧面展开图为半圆,该圆锥的体积为,则该圆锥的表面积为（   ）A.B.C.D.答案：A解析：设圆锥底面半径为,母线长为,则,所以,所以圆锥的高为,所以,解得,故其表面积.故选A.6.已知,,则（   ）A.B.C.D.答案：C解析：因为,,所以,所以.故A错误,C正确；对于B,取,,,,虽满足条件,但,故B错误；对于D,取,,,,虽满足条件,但,故D错误.故选C.7.若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为,要得到的图象,只需将函数的图象向左平移（   ）A.个单位长度B.个单位长度C.个单位长度D.个单位长度答案：D解析：由题意,得,解得,所以,其图象向左平移个单位长度,可得的图象,即为的图象,所以,解得,又,则.故选D.8.如图,在正三棱柱中,,,则异面直线与所成角的余弦值为（   ）A.B.C.D.答案：B解析：取的中点,连接交于点,连接,则,且,则为异面直线与所成的角或其补角.易求,,则,所以.故选B.9.已知,若是与的等比中项,则的最小值为（   ）A.B.C.D.答案：A解析：由题意得,即,所以,又,所以,,所以,当且仅当,即，时等号成立.故的最小值为.故选A.10.如图,在体积为的斜三棱柱中,为棱上一点,三棱锥的体积为，则三棱锥的体积为（   ）A.B.C.D.答案：A解析：设三棱柱的底面积为,其高为,三棱锥的高为,三棱锥的高为,则,,所以,即,又,即,所以,所以.故选A.11.已知函数是定义域为的偶函数,为奇函数,当时,,若,则（   ）A.B.C.D.答案：C解析：因为为奇函数,所以,又为偶函数,所以,所以,即,所以,故是以为周期的周期函数.由,易得,,所以,所以,,解得,,所以,故选C.12.已知函数,是其导函数,,恒成立,则（   ）A.B.C.D.答案：D解析：设,则,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,,所以,即,所以,故A错误；因为,所以,又,所以,故B错误；因为,所以,,即,因为,所以,故C错误,D正确.故选D.二、填空题13.已知,满足约束条件，则的最小值为        .答案：解析：画出可行域(如图阴影部分),由图知当直线过点时,取得最小值,易求,代入得.故.14.已知向量,,且,则        .答案：解析：,由,得,解得.则,故.15.已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线,若曲线仍是某个函数的图象,则的最大值为        .答案：解析：,所以,故函数的图象在处的切线为,其向上部分与轴正向的夹角为,函数的图象绕原点旋转不超过时,仍为某函数图象,若超过,轴与图象有两个公共点,与函数定义不符,故的最大值为.16.如图,在几何体中,四边形为正方形,平面,,,则该几何体的外接球的表面积为        .答案：解析：取,中点,,正方形中心,中点,连接,,,,如图,依题意,平面,,点是的中点,,等腰中,,,同理,所以等腰梯形的高,由几何体的结构特征知,几何体的外接球的球心在直线上,连接,,,正方形的外接圆半径,则有，而,,当点在线段的延长线（含点）时,视为非负数,若点在线段（不含点）上,视为负数,即有,即,解得,所以该几何体的外接球的球心为,半径为,所以该几何体的外接球的表面积.三、解答题17.在各项均为正数的等比数列中,为其前项和,,,,成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若,数列的前项和为,证明：.答案：见解析解析：（1）设数列的公比为,由题意知,即,因为,,所以,所以,所以.（2）由（1）得,所以,所以,所以.显然单调递增,所以,因为,所以,所以.18.产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位,好的宣传对产品打开市场,提高销售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现,年销售量(万件)与宣传费用(万元)的关系为.已知生产该产品万件除宣传费用外还要投入万元,产品的销售单价定为元,假设生产的产品能全部售出.（1）求产品的年利润的解析式；（2）当宣传费用为多少万元时,生产该产品获得的年利润最大？答案：见解析解析：（1）.（2）由（1）知,所以,当且仅当,即时等号成立.所以当宣传费用为万元时,生产该产品获得的年利润最大.19.在中,角,,的对边分别为,,,,且.（1）求；（2）若的周长为,求边上中线的长.答案：见解析解析：（1）因为,又,所以,由余弦定理,得.又,所以,由及正弦定理,得,所以,由,得,所以,解得.（2）由（1）可知,,所以,所以,由,得.因为的周长为,所以,解得.设的中点为,则.由余弦定理,得,所以边上中线的长为.20.如图,,分别为正方形的边,的中点,平面,平面,与交于点,,,.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小.答案：见解析解析：（1）连接,因为,分别为,的中点,所以.因为平面,平面,所以,所以.因为四边形为正方形,所以,又,所以,又,平面,,所以平面.（2）由（1）知,又平面,平面,所以平面.设与的交点为,则点到平面的距离等于点到平面的距离,由（1）知平面,又平面,所以平面平面,作,为垂足,因为平面平面,平面,所以平面.因为,,,为,的中点,所以,,,由得,得,即点到平面的距离为.（3）由平面可得,同理可证,所以为二面角的一个平面角,因为平面,平面,所以,同理,又,,所以,所以,即二面角的大小为.21.如图所示的几何体是由等高的个圆柱和半个圆柱组合而成,点为的中点,为圆柱上底面的圆心,为半个圆柱上底面的直径,,分别为,的中点,点,,,四点共面,,为母线.（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成的较小的二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.答案：见解析解析：（1）取的中点,连接,,又为的中点,所以,又平面,平面,所以平面,因为,,,分别为,的中点,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,,所以平面平面,因为平面,所以平面.（2）由题意知,,两两垂直,故以点为原点,直线,,分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设圆柱的底面半径为,高为,则,,,,,,,所以,,,,.设平面的一个法向量,则即，令,解得,,所以；设平面的一个法向量，则即，令，解得，，所以，所以,化简,得,所以,所以,.设与平面所成的角为,所以.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设,若,且,使得,证明：.答案：见解析解析：（1）的定义域为,,当时,在上恒成立,所以在上单调递增；当时,令,得；令,得；所以在上单调递减,在上单调递增.（2）,由题意知,,,不妨设,使得.所以,整理为,令,,则,所以在上单调递增,又,所以,所以,所以,因为,所以,即,所以.下面证明,即证明,设,即证明,只要证明.设,则,所以在上单调递增,所以,所以,所以,所以.