与三角形周长、面积有关的问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

三角函数与解三角形-与三角形周长、面积有关的问题

专题综述

与三角形周长、面积有关的问题一直是高考数学的必考内容，在解三角形的背景下，设置与周长、面积等相关的取值范围或最值问题，成为十分常见的命题角度，受到命题者的青睐.这类问题注重于函数、不等式和几何等知识的交汇融合，其解法主要有两种；一种是化边为角转化为三角函数的最值问题，另一种是利用基本不等式或二次函数求解.

专题探究

探究1：面积问题

范围(最值)问题的基本思路是构建不等关系,然后利用三角函数性质、基本不等式或二次函数性质求解.

         (2021真题)的内角的对边分别为，

已知,​若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【审题视点】

如何利用题设条件表示三角形面积？                              

【思维引导】

由正弦定理和条件得,根据面积公式化简的面积的表达式,利用正弦定理和三角函数性质求解范围.

【规范解析】

解：，即为

可得

因为,所以

若，可得，又因为

所以不成立，所以，由，可得

又因为，所以，由正弦定理可知

因为三角形为锐角三角形，所以,，

【探究总结】

该题属于中档题，每一个学生都有思路，但解答的过程中容易遇到挫折，准确的应用好正弦定理是关键.

（2022山东)已知分别为的三个内角的对边,，且，则面积的最大值为______.    

探究2：周长问题

与三角形周长有关的范围或最值问题,通常也是借助基本不等式,或函数的有界性进行求解.

      (2021福建省福州市)已知中,的对边分别为,

若，，则的周长的最大值是 ________.  

【审题视点】

周长怎么表示？

【思维引导】

由一边长已知转为为求另外两边长和的最大值，找不等关系求解.

【规范解析】

解：中，由余弦定理可得，

因为，所以，

化简可得，

因为，所以解得：

（当且仅当时，取等号）,

∴的周长的最大值是3．

故答案为：3．

【探究总结】

由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．主要考查余弦定理、基本不等式的应用.

(2021山东省日照市期中考试)已知中,角所对的边分别为,若的面积为,且,.

(1)  求角的大小;(2)求的周长的最大值.
 

专题升华

解三角形是高中数学的一个重要内容，有关三角形的面积与周长问题，涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，可从结论出发去寻找需要的条件.

【答案详解】

变式训练1【答案】

【解析】由正弦定理，得，即，
，所以．
又，所以．
又，所以，．
因为，

所以

．
又，所以时，取最大值．
故答案为．  

变式训练2                                      

【解析】（1）由题意，有

​则，所以

因为，所以，所以

又，所以.

 (2)因为，,则，即

所以,继而 (当且仅当时取等号) ,

则周长的最大值为.