专题06 胡不归模型（解析版）

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

，记，

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

方法点拨

一、题型特征：PA+kPB（P的运动轨迹为直线）

1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。

2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=

3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题

1．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　）

A． B． C． D．2

【解答】解：如图，

在△ABC内作∠MBA＝30°

过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，

∵∠BAC＝15°，

∴∠APE＝45°

∴EP＝AP

当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，

最小值是BE的长，

在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2

∴BE＝AB•cos30°＝．

∴AP+PB的最小值是．

故选：B．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为

G，连接GF，则GF+FB的最小值是（　　）

A．   B．   C． D．

【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4

∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4

∴△ABP是等边三角形

∴∠FBH＝30°

∴Rt△FHB中，FH＝FB

∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值

∵AE⊥CD于点G

∴∠AGC＝90°

∵O为AC中点

∴OA＝OC＝OG＝AC

∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动

∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值

∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，

sin∠P＝

∴OQ＝OP＝

∴GH最小值为

故选：C．

1．如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵的度数为120°，

∴∠C＝60°，

∵AC是直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠A＝30°，

作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．

∵BK∥AC，

∴∠DBE＝∠BAC＝30°，

在Rt△DBE中，DE＝BD，

∴OD+BD＝OD+DE，

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，

∵∠BAO＝∠ABO＝30°，

∴∠OBM＝60°，

在Rt△OBM中，

∵OB＝2，∠OBM＝60°，

∴OM＝OB•sin60°＝，

∴DB+OD的最小值为，

故选：B．

2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　4　．

【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°，

∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，

则有：100＝a2+4a2，

∴a2＝20，

∴a＝2或﹣2（舍弃），

∴BE＝2a＝4，

∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，

∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，

∴sin∠DBH＝＝＝，

∴DH＝BD，

∴CD+BD＝CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值为4．

故答案为4．

3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是　3　．

【解答】解：如图，作EF⊥AC于F，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∵tanA＝，设AD＝a，CD＝3a，

∵AD2+CD2＝AC2，

∴a2+9a2＝100，

∴a2＝10，

∴a＝或﹣（舍去），

∴AD＝a＝，CD＝3a＝3，

∴sin∠ACD＝，

∴EF＝CE•sin∠ECF＝CE，

∴BE+CE＝BE+EF，

当B、E、F三点共线时，BE+CE＝BE+EF＝BF，

此时BF⊥AC，则根据垂线段最短性质知BE+CE＝BF值最小，

此时BF＝AB•sin∠A＝10×．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　7.5　．

【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，

∵EN∥AC，EM∥AB，

∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°，

设EM＝AN＝a，AM＝b，

Rt△HEM中，∠HEM＝30°，

∴MH＝ME＝a，

∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，

当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，

AN+AM的最大值为7.5，

故答案为：7.5．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　　．

【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．

∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，

∴PC＝DE＝2，

∵＝，＝，

∴＝，

∵∠PCF＝∠BCP，

∴△PCF∽△BCP，

∴＝＝，

∴PF＝PB，

∴PA+PB＝PA+PF，

∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，

∴PA+PB≥，

∴PA+PB的最小值为，

故答案为．

6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　6　．

【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，

∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，

∴BH＝1，AH＝，AA'＝2，∠C＝30°，

∴Rt△CDE中，DE＝CD，即2DE＝CD，

∵A与A'关于BC对称，

∴AD＝A'D，

∴AD+DE＝A'D+DE，

∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，

此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'＝×2＝3，

∴AD+DE的最小值为3，

即2AD+CD的最小值为6，

故答案为：6．

7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一动点，且∠BCD＝120°，则EB+EC+AE的最小值是 　6　．

【解答】解：在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，

∴∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝，AB＝BC，

又∵BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，

∴EB+EC+EA＝EB+2AE＝2（AE+），

过E点作EQ⊥BC于点Q，过A点作AQ'⊥BC于点Q'交BD于E'，

在Rt△BQE中，∠EBQ＝30°，

∴EQ＝，

∴EB+EC+AE＝2（AE+EQ）≥2AQ'，

即EB+EC+AE的最小值为2AQ'，

在Rt△AQ'B中，AB＝6，∠ABC＝60°，

∴AQ'＝3，

∴EB+EC+AE的最小值为6，

故答案为：6．

1．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 　　．

【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，

∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠CBD＝30°，

∵PE⊥BC，

∴PE＝PB，

∴MP+PB＝PM+PE，

∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，

∵AM＝3，

∴MC＝7，

∵sin∠ACB＝＝，

∴ME＝，

∴MP+PB的最小值为，

故答案为．