高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.2 等差数列的前n项和当堂达标检测题

【名师】5.2.2 等差数列的前n项和-5同步练习

一．填空题

1．已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最大值，则公差的取值范围时________

2．设数列满足，且对于任意自然数都有，又,则数列的前项和的值为___________.

3．已知是的前项和，，对于任意，且，的最大值是______．

4．设等差数列的前项和为，若，则的值为_______.

5．已知数列为等差数列，，，则（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14

6．已知数列的前项和是，，且，则数列的通项公式______.

7．已知等差数列中，，，则的前10项和是__________.

8．设数列满足，且（），则数列前2019项的和为________.

9．数列中：且数列是等差数列，则数列的通项公式为______

10．设等差数列的前n项和为，若 ，则__________，的最小值为__________．

11．已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为           .

12．记为数列的前n项和，若，则________.

13．已知数列 的前 项和，则它的通项公式是_____;

14．已知是等差数列，记（n为正整数），设为的前n项和，且，则当取最大值时， ______．

15．已知正项数列满足，其中，，则____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据等差数列的前项和的公式，讨论其单调性，结合题意，即可求得范围.

【详解】

因为数列中，

故其前项和是关于的二次函数，且.

因为当且仅当时，前项和取得最大值

故只需该二次函数的对称轴范围在，

即，解得

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列前项和的函数属性，属基础题.

2．【答案】

【解析】由递推公式求出，发现数列呈周期变化，则答案易得.

详解：对,

令,得，可得.

同理可得.

于是可得数列呈周期变化且周期为.

所以.

【点睛】

本题考查数列的递推公式，考查周期数列的判断与求和.已知数列的递推公式求出数列的前几项，进而判定数列是周期数列时，若递推公式是由一项推出一项，即，则得到一项重复即可判定是周期数列；若递推公式是由两项推出一项，即，则需得到连续两项重复才可判定是周期数列；本题是由三项推出一项的递推公式，则需要得到连续三项重复()才可判定是周期数列.

3．【答案】10

【解析】由题意可知，，当时，利用，得出，根据二次函数图象和性质得出的单调性，根据单调性分别求出的最大值和最小值，从而得出取得最大值.

详解：解：

即，

又当时，，

当时，，即，则递减，

当时，，即，则递增，

当时，，则，则递减，

故，

若使得对任意，取得最大值，

则需且，

.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查利用单调性求数列前项和的最值问题以及利用分组求和法求出数列前项和，根据是解决本题的关键.

4．【答案】.

【解析】由得，代入中计算可得结果.

【详解】

解：由得，即，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，是基础题.

5．【答案】C

【解析】利用等差数列的通项公式可得,即可得到,进而求解即可

【详解】

解:设等差数列的公差为,,,

,解得,

则,

故选:C

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,利用等差数列的通项公式即可得出

6．【答案】

【解析】由可得,两边同除可得,即是首项为,公差为的等差数列,可求得,进而由求解即可,注意检验时的情况.

详解：由题,因为,所以,两边同除可得,

因为,所以数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,

所以,

当时,,

当时,,检验,不符合,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查构造法求通项公式,考查由与的关系求通项公式.

7．【答案】

【解析】根据已知条件构造方程组求解出，然后利用等差数列的求和公式求解出.

【详解】

因为，，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式基本量的计算以及求和公式的运用，难度较易.

8．【答案】

【解析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．

详解：解：数列满足，且，

所以，，，

故，

整理得，

所以，

所以，

数列前2019项的和．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

9．【答案】

【解析】根据条件，求出等差数列的通项公式，再推导出即可.

【详解】

因为数列是等差数列，记，故为等差数列，

由题可知：

故可得数列的公差为：，首项

故

故可得：

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求解，属基础题.

10．【答案】0    -10 

【解析】根据等差数列的基本量的运算求出公差，可分析出数列项的符号变化规律，即可求解.

【详解】

等差数列中,,得,公差,,

由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和的最值，属于中档题.

11．【答案】5

【解析】

，

所以，所以，所能取得的最大整数为5.

考点：数列.

12．【答案】-1

【解析】对前项和公式进行赋值，即可求得结果.

【详解】

因为，故当时，

，解得

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查对数列前项和的认识，赋值即可.

13．【答案】

【解析】先根据数列的前项和，求出，再根据当时，求出，并验证当是否也满足，即可求出数列的通项公式．

【详解】

数列的前项和

，,

又，

，检验当时，，

【点睛】

本题考查数列前项和与通项公式之间的关系，易错点是，所以必须要检验是否满足通项，属于基础题，必须掌握

14．【答案】16.

【解析】由，知，，所以．由，，知，，由此能够推导出中最大．

详解：由且，

所以，

所以，，即

因为，

所以，

所以，

因为，，

，，

所以，即

所以，

所以最大．

故答案为：16

【点睛】

本题考查数列前项和的最大值，对一个递减数列来讲，只要求得的最大的就可能得出结果（主要还要考虑一下是否有），而本题，会发现至，，，开始往后均小于0.因此还要比较与的大小，确定是否成立．才能得出正确结论．

15．【答案】

【解析】根据递推公式，可得，得到等差数列，然后使用通项公式，可得结果.

【详解】

由

则

两式相减可得，

可知数列等差数列，则

即

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查数列的递推公式，属中档题.