贵州省六盘水市2022-2023学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

六盘水市2022-2023学年度第一学期期末教学质量监测

高二年级数学试题卷

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卷交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C．1，2 D．

2．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．为研究病毒的变异情况，某实验室成功分离出贝塔毒株、德尔塔毒株、奥密克戎毒株共130株，其数量之比为7:2:4，现采用按比例分配的分层抽样的方法从中抽取一个容量为26的样本，则奥密克戎毒株应抽取（    ）株

A．4 B．6 C．8 D．14

4．在正方体中，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（    ）

A．  B．

C．  D．

7．已知点在圆：上，直线：（），则点到直线的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．设点是双曲线：（，）上任意一点，过作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交渐近线于点．若四边形的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为（    ）

A．8 B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增的函数是（    ）

A． B． C． D．

10．已知直线过点，下列说法正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角为90°，则方程为

B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则方程为

C．直线与圆：始终相交

D．若直线和以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率

11．已知抛物线：，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，则（    ）

A．（为原点） B．若，则

C．  D．以为直径的圆与轴相切

12．已知正四面体的棱长为2，、分别是和的中点，下列说法正确的是（    ）

A．直线与直线互相垂直

B．线段的长为

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．正四面体内存在点到四个面的距离都为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．命题的否定是______．

14．已知单位向量，，且，则______．

15．我国南北朝时期的数学家祖琾提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．也就是说“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现有某几何体和一个圆锥满足祖桓原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该几何体的体积为______．

16．已知椭圆的两焦点，若椭圆上存在点，使得

（为原点），，则椭圆的离心率的取值范围是______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数（）的最小正周期为．

（1）求的解析式；

（2）求的单调递增区间．

18．（本小题满分12分）

当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中的值；

（2）试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；

（3）采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面夹角的大小．

20．（本小题满分12分）

①，②．

请从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该题．

在中，内角，，所对的边分别是，，且______．

（1）求角；

（2）若点在的延长线上且满足，，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．（本小题满分12分）

六盘水市某中学高二年级组织开展了“建立函数模型解决实际问题”的活动，其中一个小组通过对某种商品销售情况的调查发现，该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间的部分数据如下表所示：

（1）给出以下二种函数模型：①（），②（），请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；

（2）已知第20天该商品的日销售收人为63元，求这个月该商品的日销售收人（，）（单位：元）的最小值．（结果保留到整数）

22．（本小题满分12分）

已知椭圆：（），㮁圆的中心到直线的距离是短半轴长，长轴长是焦距的倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，，两点在直线上且，，设直线、的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值．若不是，请说明理由．

六盘水市2022—2023学年度第一学期期末教学质量监测

高二年级数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．，   14．   15．   16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解（1）

因为的最小正周期为，由，，所以．

所以

（2）令，

得：，

得：，

所以，函数的单调递增区间为，

18．解：（1）依题意可得：，解得：

（2）根据频率分布直方图知：

众数的估计值为

平均数的估计值为

所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5．

（3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1，

现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1．

7分记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5．

中所抽取的1人编号为．

所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：

，共15个样本点．

其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以

19．（1）证明：在中，，

所以，所以

因为平面平面，平面平面

又，平面，所以平面

又平面，所以

（2）由（1）知，平面，

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系

依题意得，，，，，

设平面的法向量为，

则，可得，取，得，

所以平面的一个法向量为，由（1）可得平面一个法向量为

设平面与平面的夹角为

则，

因为，

所以平面与平面的夹角为．

20．解：（1）选①

因为

由正弦定理得

即

由余弦定理得，可得

又，所以

选②

因为

由正弦定理得

所以

又，所以

又在中，，所以，

又，所以

（2）由题意知为的中点，所以

又在中，由（1）及余弦定理可得

即

（当且仅当时，等号成立）

所以

又，所以，所以的取值范围为

21．解：（1）由表中的数据可得，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，而模型①是一次函数，它是单调函数，所以选择模型②．

将表中的数据，代入

有，解得

所以

（2）因为第20天的日收入为63元

所以，得

因为

所以，

当时，，当且仅当即时，等号成立，所以当的最小值为81．

当，可知单调递减，故当时，取到最小值

因为，所以，日收入的最小值为32元．

22．解：（1）设，

因为长轴长是焦距的倍，所以得到，

又椭圆中心到直线的距离为短半轴长，

所以，解得．

又，解得．所以椭圆的方程为：．

（2）依题意可设，，，，

因为直线过点，故可设：．

联立，整理得，

所以，  ①

又，

所以，  ②

因为，，，

又因为，，得

因为，同理可得，

又，，

所以  ③

将①②代入③整理可得：

所以是定值，为．