高中数学第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图像课堂检测

【精选】4.1.2 指数函数的性质与图像-2优选练习

一．单项选择

1．素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁？梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

2．函数f（x）=ax–3（a>0，a≠1）的图象恒过点（   ）

A．（0，1） B．（1，2）

C．（2，2） D．（3，1）

3．已知，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

4．若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为（  ）

A. B. C. D.

5．函数（）在区间上的最大值是最小值的2倍，则的值是（    ）

A．或 B．或 C． D．

6．函数在区间上的最小值是（    ）

A. B. C. D.

7．函数y=ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=(    )

A．2 B． C．4 D．

8．若，则，，之间的大小关系为 (    )

A．<< B．<< C．<< D．<<

9．函数过点，则这个定点是（    ）

A. B. C. D.

10．根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1082，则下列各数中与最接近的是(    )(参考数据：lg 3≈0. 48)

A．1033 B．1053 C．1091 D．1093

11．若－1<x<0，则不等式中成立的是(　　)

A.5－x<5x<0.5x B.5x<0.5x<5－x

C.5x<5－x<0.5x D.0.5x<5－x<5x

12．设，  则 （      ）

A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

13．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

14．若指数函数在上递减，则实数的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

15．函数的反函数的图象为(    )

A. B.

C. D.

16．函数在[1,2]上的最大值比最小值大，则＝(　 　)

A． B． C．或 D．或

17．函数f(x)=－b的图象如图，其中a．b为常数，则下列结论正确的是（    ）

A.a>1，b <0 B.a>1，b>0

C.0 <a <1，b>0 D.0 <a <1，b<0

18．下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.

【详解】

因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,

因此有.

故选：C

【点睛】

本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质．指数式转化为对数式,属于基础题.

2．【答案】D

【解析】根据指数函数的性质，当时，，即可得出结论.

【详解】

因为指数函数图象过（0，1），所以当x=3时，函数f（x）=ax–3（a>0，a≠1）的值恒为1，

即图象恒过点（3，1）．故选D．

【点睛】

本题主要考查了指数函数的性质，属于中档题.

3．【答案】B

【解析】可先初步判断和的取值范围，再由不等关系来确定的增减性即可

【详解】

由指数函数是减函数知，；

由指数函数是增函数知， ，

设幂函数为，由知， 幂函数在第一象限应为减函数，故

故选B．

【点睛】

本题考查指数型不等式的解法与幂函数增减性的判断，处理此类题型，应从范围的角度去分析，确定底数取值区间，再根据幂函数的性质去求解

4．【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性，知道其在上的最大值和最小值之和即为，代入即可解出答案。

【详解】

因为指数函数在区间上单调，且，

即 解得，又

所以

故选B

【点睛】

本题考查指数函数的单调性，与指数函数的定义，需要注意的是解出的两个值中根据指数函数的定义一定要把负的舍去。属于基础题。

5．【答案】B

【解析】分为 两种情况，分别计算得到答案.

【详解】

当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

综上所述：或

故选：

【点睛】

本题考查了函数的最值，漏解是容易发生的错误.

6．【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性，求得函数的最小值.

【详解】

由于在上递减，所以当时，函数取得最小值为.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数函数在给定区间上的最值的求法，属于基础题.

7．【答案】A

【解析】y=ax在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=ax取得最值，代入即可得到最值.

【详解】

y=ax在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=ax取得最值，由题意，a0+a1=3，即1+a=3，所以a=2，

故选A．

【点睛】

这个题目考查了指数函数的单调性问题，指数函数的单调性由a和1的大小关系决定，当a>1时，函数单增，当0<a<1时函数单减,无论函数增减，均过定点（0，1）.

8．【答案】D

【解析】可用特殊值法；当时，，，，所以．

考点:函数单调性的应用．

9．【答案】D

【解析】根据指数函数恒过定点（0，1）以及图象的平移变换的知识解决问题

【详解】

解：因为函数y＝ax的图象过点定（0，1），而y＝ax﹣1的图象是由y＝ax的图象沿x轴向右平移一个单位得到的．故图象过点（1，1）．

故选：D．

【点睛】

本题考查了指数函数过定点的知识以及图象的平移变换即左加右减的知识，属于基础题．

10．【答案】C

【解析】根据对数的性质可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．

【详解】

由题意：M≈3361，N≈1082，

根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，

∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，

∴1091.

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式，考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．

11．【答案】B

【解析】画出的图象如下，

，故选B。

12．【答案】D

【解析】根据条件化为底为2的指数，再根据指数函数单调性确定大小.

【详解】

因为，为单调递增函数，所以即y1>y3>y2，选D.

【点睛】

本题考查指数函数单调性，考查基本化简应用能力.

13．【答案】D

【解析】可将看成的平方，等式两边同时除以，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可

【详解】

由，得（当且仅当时等号成立），解得

故选D

【点睛】

本题考查指数函数的值域代换问题，方程有解问题，基本不等式最值求解，同时考查了方程与不等式的转化思想

14．【答案】A

【解析】根据指数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．

【详解】

解：由题意得： ，

解得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查指数函数单调性，是一道基础题．

15．【答案】D

【解析】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数得出，所求反函数的解析式为,结合对数函数图象及性质,即可得到答案.

【详解】

因为函数和函数互为反函数,

所以函数的反函数为，

因为，

所以函数在上为减函数,且过点，

故选:D

【点睛】

本题考查反函数的定义和对数函数的图象及性质；掌握同底的对数函数与指数函数互为反函数是求解本题关键;属于基础题.

16．【答案】C

【解析】对a分类讨论，根据指数函数的单调性布列方程，解之即可.

【详解】

当a＞1时，函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上是增函数，由题意可得 a2﹣a=，∴a=．

当0＜a＜1时，函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上是减函数，由题意可得 a﹣a2=，解得 a=．

综上，a的值为或

故选：C．

【点睛】

本题主要考查指数函数的单调性和最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

17．【答案】C

【解析】由函数图像可得，此函数为减函数，结合指数函数的单调性可得0<a<1,又f(0)=1－b，所以b>0，则可得解.

【详解】

解：从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f(0)=1－b，所以b>0，

故选：C.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性及指数函数图像的平移，属基础题.

18．【答案】C

【解析】根据指数函数和的单调性判断即可．

【详解】

因为在R上单调递减，故，A，D错误;

在R上单调递增，故, 则B错误，C正确

故选：C

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查数的大小比较，是一道基础题．