高中人教A版 (2019)3.1 椭圆课后练习题

这是一份高中人教A版 (2019)3.1 椭圆课后练习题，共7页。
第三章　3.1.2A级——基础过关练1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．7,2， B．14,4，C．7,2， D．14,4，－【答案】B　【解析】将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，可知b＝2，a＝7，c＝3，则可得长轴长2a＝14，短轴长2b＝4，离心率e＝＝.2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)A． B．C． D．【答案】B　【解析】因为a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，所以m＝.3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A． B．C． D．【答案】C　【解析】如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以|PF2|＝|F2F1|，即2＝2c，所以e＝＝.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan∠PF2F1＝，则椭圆的离心率为(　　)A． B．C． D．【答案】A　【解析】如图，把x＝－c代入＋＝1，可得y＝±，不妨取P，则|PF1|＝，而|F1F2|＝2c，所以tan∠PF2F1＝＝＝＝，则2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝－2(舍去)或e＝.5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为________．【答案】3或　【解析】当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝5－m.又因为e＝，所以＝2，解得m＝3.当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝5，所以c2＝a2－b2＝m－5.又因为e＝，所以＝2，解得m＝.故m＝3或m＝.6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0<e≤，则长轴长的取值范围为________．【答案】(2,4]　【解析】因为b＝1，所以c2＝a2－1.又＝＝1－≤，所以≥，所以a2≤4.又因为a2－1>0，所以a2>1，所以1<a≤2，故长轴长的取值范围为2<2a≤4.7．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为________．【答案】　【解析】如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c,0)为右焦点，设D(x，y)，由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即解得所以D.因为点D在椭圆上，所以＋＝1，解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.8．若椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在y轴上，且焦距是4，则实数s＝________.【答案】4　【解析】由于椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且焦距是4，所以c＝2.由题意得解得s＝4.9．设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程．解：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由e＝＝，a2＝b2＋c2得a＝2b，|PM|2＝x2＋2＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)．若0<b<，则当y＝－b时|PM|2最大，即2＝7，所以b＝－>，故矛盾．若b≥，则当y＝－时|PM|2最大，即4b2＋3＝7，b2＝1，b>，满足条件，从而a2＝4.所求椭圆方程为＋y2＝1.10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．所以≥，即e≥.又0<e<1，所以e的取值范围是.(2)证明：由(1)知mn＝b2，所以S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2.故△PF1F2的面积只与短轴长有关．B级——能力提升练11．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　)A．长轴长为 B．焦距为C．短轴长为 D．离心率为【答案】ABC　【解析】椭圆C：16x2＋4y2＝1，化为标准形式＋＝1，可得a＝，b＝，则长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝，c＝＝，焦距2c＝，可得离心率为e＝＝＝.12．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)A． B．C． D．【答案】B　【解析】因为F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，所以F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组整理得x2＝(2c2－a2)·≥0，解得e≥.又0<e<1，所以≤e<1.13．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.【答案】　【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.14．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为________．【答案】2　【解析】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则当三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.所以a2≥2.所以a≥，所以长轴长的最小值为2.15．焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上．(1)求m的值；(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．解：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上，代入得＋＝1，解得m＝2.(2)由(1)知，椭圆方程为＋＝1，则a＝2，b＝，所以c＝.椭圆的长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为e＝＝.16．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．解：(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，所以||2＝(x0－m)2＋y＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.C级——探究创新练17．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当－－4＋5取得最小值时，＝______；椭圆C的离心率为______．【答案】2　　【解析】A(－a,0)，B(a,0)，设P(x0，y0)，则y＝，则m＝，n＝，所以mn＝＝－，则－－4＋5＝－4＋5，令＝t>1时，则f(t)＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝2时f(t)的最小值为f(2)，此时＝2，所以e＝.18．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求·的取值范围．解：由＋＝1，得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．所以·＝(x－5)＋y①.又＋＝1，所以y＝4－x，代入①，所以·＝x－1.因为0≤x≤9，所以0≤x≤5.所以－1≤·≤4，所以·∈[－1,4]．