2022-2023学年山西省晋中市部分学校九年级（上）自主测评数学试卷（三）（12月份）(解析版)

这是一份2022-2023学年山西省晋中市部分学校九年级（上）自主测评数学试卷（三）（12月份）(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程x2+4x=0的解为( )
A. 4B. -4C. 4或0D. -4或0
2. 反比例函数y=-的图象与一次函数y=2x的图象( )
A. 没有交点B. 有一个交点C. 有两个交点D. 有三个交点
3. 有四张卡片，正面分别印有下列不同的几何体图案(这些卡片除图案外完全相同)，现将这四张卡片背面朝上放置，洗匀后小红先从中随机抽取一张，记下图案放回，洗匀后小磊从中随机抽取一张，则小红、小磊二人抽到的卡片恰好都是棱柱的概率是( )
A. B. C. D.
4. 如图，矩形ABCD的周长为28cm，对角线AC，BD将矩形分成四个小三角形，若四个小三角形的周长和为68cm，AC的长度为( )
A. 10cmB. 14cmC. 16cmD. 无法确定
5. 一张正方形纸片在太阳光下的影子不可能是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 梯形
D. 线段
6. 解下列一元二次方程时，最适合用因式分解法的是( )
A. x2-x-1=0
B. x2-7x=-1
C. (x-1)2-4x=2
D. (x-3)2-16=0
7. 某企业通过扩大规模，改进生产技术，降低产品成本．某品牌产品的成本原来为1400元/吨，经过两次降低后，其成本为1134元/吨．设平均每次降低的百分率为x，则根据题意可列出的方程是( )
A. 1400(1+x)2=1134B. 1134(1+x)2=1400
C. 1400(1-x)2=1134D. 1134(1-x)2=1400
8. 如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是( )
A. B. C. D.
9. 如图是太原某中学的小明中午放学骑车回家时的情形，根据图中的影子可以判断他当时的行驶方向是( )
A. 向东
B. 向西
C. 向南
D. 向北
10. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD：DC=2：1，CE：AE=2：1，BE与AD相交于点F，则下列结论：①∠AFE=60°，②CE2=DF⋅DA，③AF⋅BE=AE⋅AC.其中正确的有( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=(k>0)图象上的两个点，x112. 如图是某几何体的俯视图与主视图，组成该几何体的小正方体最多有______个．
13. 如图，直线y=-x+4与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(1,3)和点B(3,1)，连接OA，OB，则△AOB的面积为______．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(2,4)，若四边形ABCD关于点O的位似图形为四边形A'B'C'D'，且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的面积比为1：2，则点B'的坐标为______．
15. 如图，正方形纸片ABCD中，AB=4，点E为BC边的中点，沿AE折叠△ABE至△AFE，连接CF.则线段CF的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解下列方程
(1)x2-x-1=0；
(2)x2-10x+16=0．
17. (本小题6.0分)
阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．
小明同学在解一元二次方程(x-3)2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到(x-3)2-(x-3)=0，提公因式，得(x-3)(x-3-1)=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4．
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；
任务二：若有不正确，请说明其理由；
任务三：直接写出方程(x-5)3-4(x-5)2=0的根．
18. (本小题10.0分)
如图1，一个质地均匀的正六面体，其六个面上分别标有1，2，3，4，5，6；如图2，正方形ABCD的四个顶点处各有一个小圆圈．张华和李辉玩跳圈游戏，游戏规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷--次正六面体，朝上的一面是几，就沿图2正方形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．例如：掷得的点数为3，就从顶点A开始逆时针跳3个边长，落到圈D；掷得的点数为4，就从顶点A开始逆时针跳4个边长，落回到圈A；掷得的点数为5，就从顶点A开始逆时针跳5个边长，落到圈B；
(1)张华投掷一次正六面体，按规则跳跃后能落到圈C的概率为______；能落到圈D的概率为______．
(2)张华和李辉各投掷一次正六面体，并按规则进行跳跃，用列表或画树状图的方法求落在同一圈内的概率．
19. (本小题9.0分)
已知反比例函数y=图象的一支在第一象限，点A(2,a)，B(5,b)均在这个函数的图象上．
(1)图象的另一支在第______象限；常数m的取值范围为______；
(2)直接写出a与b的大小关系；
(3)若过点A作AC⊥x轴于点C，连接AO，若△AOC的面积为3，求此反比例函数的表达式；
(4)在(3)的条件下，探究在平面内是否存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20. (本小题10.0分)
智慧学习小组的同学约好下午放学后去完成项目式学习的室外测量，他们带了两根2米长的标杆及卷尺来到路灯下，将标杆AB，CD直立在地上，灯泡所在位置为点O，此时A，B，C，D，O恰好在同一平面内，但点O到地面的距离不能直接测量，他们准备借助标杆在路灯下的影子解决问题．
(1)请画出标杆AB，CD在灯泡O下的影子，分别记为AE，CF；
(2)尺规作图：作出灯泡O到地面AC的距离OH(保留作图痕迹，不写作法)；
(3)若他们测得AE=2.2米，AC=6米，CF=1.2米，请求出灯泡O到地面AC的距离OH.(精确到0.1米)
21. (本小题9.0分)
某校准备在一块长为30米，宽为24米的矩形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(阴影部分)，四条小路围成的四边形恰好为一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，4条小路所占面积为80平方米．其余部分种植月季花．
(1)求小路的宽度．
(2)若修建小路的成本为每平方米100元，种植月季花的成本为每平方米45元．求此花圃的总成本．
22. (本小题8.0分)
阅读与思考
如图1，点E是四边形ABCD的边BC，上一点，分别连接EA，ED，把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把点E叫做四边形ABCD的边BC上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把点E叫做四边形ABCD的边BC上的“强相似点”．
任务一：如图1，∠B=∠C=∠AED=α°，试判断点E是否是四边形ABCD的边BC上的“相似点”，并说明理由；
任务二：如图2，矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，试在图中画出矩形ABCD的边BC上的强相似点；
任务三：如图3，矩形ABCD中，AB=6，将矩形ABCD沿CE折叠，点D落在AB边上的点F处，若点F是四边形ABCE的边AB上的强相似点，求BC．
23. (本小题13.0分)
综合与实践．
项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E，F分别是AB，AD的中点，四边形AEGF是矩形，连接CG．
(1)请直接写出CG与DF的长度比为______；
(2)如图2，将矩形AEGF绕点A按顺时针方向旋转至点G落在AB边上，求点F到AD的距离；
(3)将矩形AEGF绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想CG与DF之间的数量关系，并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：x2+4x=0，
∴x(x+4)=0，
解得x=0或-4．
故选：D．
直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．
本题主要考查用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=-的图象位于第二、四象限，
一次函数y=2x的图象过一、三象限，
∴两图象没有交点．
故选：A．
根据反比例函数与正比例函数的解析式判断出函数图象所经过的象限，即可求解．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．本题是根据正比例函数与反比例函数的性质及图象得出的结论．
3.【答案】B
【解析】解：把四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小红、小磊二人抽到的卡片恰好都是棱柱的结果有4种，即BB、BC、CB、CC，
∴小红、小磊二人抽到的卡片恰好都是棱柱的概率为=，
故选：B．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红、小磊二人抽到的卡片恰好都是棱柱的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BF，AO=OC，OD=OB，
∴AO=OC=OD=OB，
∵矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是68cm，
∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=68cm，
即8OA+2AB+2BC=68cm，
∵矩形ABCD的周长是28cm，
∴2AB+2BC=28cm，
∴8OA=40cm，
∴OA=5cm，
即AC=BD=2OA=10cm，
故选：A．
根据矩形性质得出OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，求出8OA+2AB+2BC=68cm，2AB+2BC=28cm，求出OA，即可求出答案．
本题考查了矩形的性质的应用，解决本题的关键是掌握矩形的对边相等，矩形的对角线互相平分且相等．
5.【答案】C
【解析】解：一张正方形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，
故选：C．
根据平行投影的性质求解可得．
本题主要考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的性质．
6.【答案】D
【解析】解：A、x2-x-1=0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
B、x2-7x=-1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
C、由原方程得到x2-6x-1=0，适合于配方法解方程，故本选项符合题意；
D、(x-3)2-16=0适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
故选：D．
本题可对方程进行化简，看能否将方程化为左边是两个式子相乘，右边是0的形式，即可应用因式分解法来解．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意得1400(1-x)2=1134，
故选：C．
利用某品牌产品经过两次降低后的成本价=原成本价×(1-平均每次降低的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：从正面看，底层是一个矩形，上层是一个圆，
故选：B．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
9.【答案】C
【解析】解：中午放学时太阳光线由东向西，
所以可判断小明当时的行驶方向是由北向南．
故选：C．
根据中午放学时太阳光线由东向西，于是可判断小明当时的行驶方向．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
10.【答案】A
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，
∵BD：DC=2：1，CE：AE=2：1，
∴BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°，
∴∠ABE+∠CBE=60°，
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE=60°，
∴①正确；
∵∠BFD=∠AFE=∠ABD=60°，∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴BD：AD=DF：DB，
∴BD2=DF⋅DA，
∴CE2=DF⋅DA，
∴②正确；
∵∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB=∠FEA，
∴△AFE∽△BAE，
∴AF：AB=AE：BE，
∴AF⋅BE=AE⋅AB，
∴AF⋅BE=AE⋅AC，
∴③正确；
故选：A．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°；
②△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF⋅DA；
③只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF⋅BE=AE⋅AC．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了三角形外角与内角的关系，全等三角形，直角三角形，相似三角形的判定与性质，内容较多，题目较为复杂．
11.【答案】y1>y2
【解析】解：∵双曲线y=(k>0)，
∴函数图象如图在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点在该双曲线上，且x1∴P1，P2两点在第三象限的曲线上，
∴y1>y2．
故答案为：y1>y2．
结合已知条件和反比例函数的性质，根据反比例函数图象上点的特性，即可看出y1与y2的大小关系．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
12.【答案】13
【解析】解：综合俯视图和主视图，这个几何体的左边一列有1个小正方体，中间一列最多有6个小正方体，右边一列最多有6个小正方体，
所以组成这个几何体的小正方块最多有13个．
故答案为：13．
根据三视图的知识，易得这个几何体共有3层，3行，3列，先看左边一列正方体的个数，再看中间一列与右边一列正方体的可能的最多个数，相加即可．
本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
13.【答案】4
【解析】解：设直线AB与y轴交于E点，如图，
令x=0，则y=0+4=4，则点E的坐标为(0,4)，
∵A(1,3)，B(3,1)，
∴S△OAB=S△OBE-S△AOE
=×4×3-×4×1
=6-2
=4．
故答案为：4．
设直线AB与y轴交于E点，如图，先确定点E的坐标为(0,4)，然后根据三角形面积公式，利用S△OAB=S△OBE-S△AOE进行计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形的面积．
14.【答案】(2,22)或(-2,-22)
【解析】解：∵四边形ABCD关于点O的位似图形为四边形A'B'C'D'，且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的面积比为1：2，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，相似比为2：1，
∵点B(2,4)，
∴点B'的坐标为(2÷2,4÷2)或[2÷(-2),4÷(-2)]，即(2,22)或(-2,-22)，
故答案为：(2,22)或(-2,-22).
根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，相似比为2：1，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
15.【答案】5
【解析】解：连接BF，交AE于O点，

∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，
∴BE=EF，∠AEB=∠AEF，AE垂直平分BF，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=EF=2，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠ECF+∠EFC，
∴∠AEB=∠ECF，
∴AE//CF，
∴∠BFC=∠BOE=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE=42+22=25，
∴BO==4×225=5，
∴BF=2BO=5，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
CF=BF2-BC2==5，
故答案为：5．
连接BF，交AE于O点，根据翻折的性质知BE=EF，∠AEB=∠AEF，AE垂直平分BF，再说明AE//CF，利用等积法求出BO的长，再利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用等积法求出BO的长是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵x2-x-1=0，
∴a=1，b=-1，c=-1．
∵Δ=1+4=5>0，
∴x=1±52，
∴x1=1+52，x2=1-52；
(2)x2+10x+16=0，
(x+8)(x+2)=0，
x+8=0，x+2=0，
x1=-8，x2=-2．
【解析】(1)分别找出方程中a、b、c的值，再代入求根公式中进行求解；
(2)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
17.【答案】解：任务一：小明同学的解法错误；小华同学的解法；
任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3．
任务三：(x-5)3-4(x-5)2=0，
(x-5)2(x-5-4)=0，
x-5=0或x-9=0，
解得：x1=x2=5，x3=9．
【解析】任务一：根据解题过程即可判断；
任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3．
任务三：移项后分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
18.【答案】
【解析】解：(1)张华投掷一次正六面体，按规则跳跃后能落到圈C的概率为=，能落到圈D的概率为，
故答案为：，；
(2)由题意可知，掷得的点数为1或5时，跳跃后落到圈B；掷得的点数为2或6时，跳跃后落到圈C；掷得的点数为3时，跳跃后落到圈D；掷得的点数为4时，跳跃后落到圈A；
画树状图如下：

共有36种等可能的结果，其中落在同一圈内的结果有10种，
∴落在同一圈内的概率为=．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有36种等可能的结果，其中落在同一圈内的结果有10种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】三 m>-5
【解析】解：(1)∵反比例函数y=图象的一支在第一象限，
∴图象的另一支在第三象限，m+5>0，
∴m>-5，
故答案为：三，m>-5；
(2)反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，
∵2<5，
∴a>b；
(3)如图：

∵AC⊥x轴，△AOC的面积为3，
∴(m+5)=3，
解得m=1；
(4)存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由(3)知y=，
把A(2,a)，B(5,b)代入y=得：
a=3，b=，
∴A(2,3)，B(5,)，
设D(m,n)，又O(0,0)，
①若AB，DO为对角线，则AB，DO的中点重合，
∴，
解得，
∴D(7,)；
②若AD，BO为对角线，则AD，BO的中点重合，
∴，
解得；
∴D(3,-)，
③若AO，BD为对角线，则AO，BD的中点重合，
∴，
解得，
∴D(-3,)，
综上所述，D的坐标为(7,)或(3,-)或(-3,).
(1)由反比例函数的性质可得答案；
(2)由反比例函数的增减性可得答案；
(3)根据反比例函数k的几何意义列方程可得答案；
(4)设D(m,n)，根据平行四边形对角线中点重合，分三种情况列方程组，分别解方程组即可得到D的坐标．
本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
20.【答案】解：如下：

(1)如上图：线段AE，线段CF即为所求；
(2)如上图：线段OH即为所求；
(3)设OH=x米，AH=y米，则CH=(6-y)米，
∵AB//OH//CD，
∴△ABE∽△HOE，△CDF∽△HOF，
∴=，=，
即：=，=，
解得：y=≈3.9，
x=5≈5.3，
所以灯泡O到地面AC的距离OH大约为5.3米．
【解析】(1)根据中心投影的性质作图；
(2)根据过直线外一点作直线的垂线作图；
(3)根据相似三角形的性质求解．
本题考查了作图及相似三角形的性质，三角形相似的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，
由题意得：(30+4x+24+4x)x=80，
解得：x1=-8(不合题意，舍去)，x2=1.25，
答：小路的宽度为1.25米．
(2)种植部分的面积为：30×24-80=640(平方米)，
∴此花圃的总成本为：80×100+640×45=36800(元)，
答：此花圃的总成本为36800元．
【解析】(1)设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，由小路的面积=小路的宽×小路的总长度，且4条小路所占面积为80平方米，列出一元二次方程，解方程即可；
(2)求出种植部分的面积，再列式计算即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解；任务一：点E是四边形ABCD的边BC上的“相似点”，
理由：∵∠B=∠C=∠AED=α°，
∴∠BAE+∠AE
B=∠AEB+∠DEC=180°-a°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
任务二：如图：

点E即为所求；
任务三：由折叠得：△EFC≌△EDC，
由矩形ABCD得：AB=CD=6，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵点F是四边形ABCE的边AB上的强相似点，
∴△AEF∽△BFC∽△FEC，
∵△EFC≌△EDC，
∴∠DCE=∠FCE=∠FCB=∠BCD=30°，
∴BF=CF=CD=3，
∴BC=CF2-BF2=62-32=33．
【解析】任务一：利用两角相等的两个三角形相似求解；
任务二：根据新定义画图；
任务三：根据新定义和勾股定理求解．
本题考查了作图和折叠，矩形的性质，折叠的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】133
【解析】解：(1)如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．

在Rt△CGH中，GH=DF=3，CH=DH=AE=2，
∴CG=CH2+GH2=22+32=13，
∴=133，
故答案为：133；
(2)如图2中，作FP⊥AD于P，

在矩形AEGF中，∵AE=2，EG=3，
∴AG=AE2+EG2=22+32=13，
∵∠EAG+∠GAF=∠GAF+∠PAF=90°，
∴∠EAG=∠PAF，
∵∠E=∠APF，
∴△APF∽△AEG，
∴，
∴，
∴PF=12+313，
即点F到AD的距离为12+313；
(3)．
证明：连接AC，AG，
∵AB=4，AD=6，
∴AC=AD2+CD2=62+42=213，

∵∠DAC=∠GAF，
∴∠DAC+∠FAC=∠GAF+∠FAC，
∴∠DAF=∠CAG，
∵=，
∴△CAG∽△DAF，
∴=2136=133．
(1)如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，利用勾股定理即可解决问题；
(2)如图2中，作FP⊥AD于P.利用勾股定理相似三角形的性质，求出AG、PF即可解决问题；
(3)连接AC，AG，由勾股定理求出AC的长，证明△CAG∽△DAF，由相似三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．