数学必修 第一册3.1 对数函数的概念达标测试

这是一份数学必修 第一册3.1 对数函数的概念达标测试

【基础】3.1 对数函数的概念-2优选练习一．填空题1．函数图象恒过定点，(其中且)，则的坐标为__________.2．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数且的图像一定过定点；②函数的定义域是，则函数的定义域为；③若，则的取值范围是；④若 (,)，则.3．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则；④若函数具有性质，则．其中，正确结论的序号是________．4．已知函数在上单调递增，则的范围为___________．5．函数的定义域为______________．6．函数的反函数为，则___________.7．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为___________.8．若函数，则的单调递增区间是______.9．若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.10．函数在单调递减，则的范围是___________.11．若，则的取值范围是___________.12．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为________.13．若函数，则的值域为________.14．计算的值为________．15．函数的单调递增区间是______.参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：根据对数的性质，，由题中条件，即可求出结果.详解：因为函数图象恒过定点，(其中且)，所以只需，则，即，所以，因此的坐标为.故答案为：.2．【答案】①③④【解析】分析：由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令代入判断，②利用函数的定义求出的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数，由它的单调性判断．详解：①令，则，即图象过点，①正确；②，则，∴的定义域是，②错；③，∴，∴．③正确；④由 (,)，得，又是上的增函数，∴由，得，即，④正确．故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数且的图象恒过定点；（2）对数函数且的图象恒过定点，解题时注意整体思想的应用．3．【答案】①③【解析】分析：对每个选项中的具体函数，先求定义域和值域，再结合题中函数性质的定义进行直接判断或特殊值验证说明即可.详解：依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质.①函数，定义域是R，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R，，当且仅当时等号成立，即值域为.对任意的，，要使得，则需，而不存在， 使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为.要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，故，即，故.故③正确；④若函数具有性质，定义域是R，使得，一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而，故或，在此条件下，另一方面，的值域是值域的子集.的值域为,的值域为要满足题意，只需，时，即；时，即；故，即，即，即，故.故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题的解题关键在于理解题中新定义“函数具有性质”的实质是对任意，其函数值的取值集合包含了其倒数的取值集合，才能存在存在，使得，进而突破难点.4．【答案】【解析】分析：本题首先可以设，则，然后根据复合函数的单调性判断出在上是减函数，最后根据二次函数性质即可得出结果.详解：令，则，，因为在上是减函数，函数在上单调递增，所以在上是减函数，因为函数对称轴为，开口向上，所以，解得，的范围为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了对数函数的性质以及复合函数的单调性的应用，合理应用复合函数的单调性的判定方法进行转化是解决本题的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力，是中档题．5．【答案】【解析】分析：根据对数函数，真数大于零，即可求得答案.详解：由题意得，解得，故答案为：6．【答案】【解析】分析：令，求出的值即得解.详解：令，所以，所以，根据反函数的性质得6.故答案为：6【点睛】结论点睛：反函数和原函数的图象关于直线对称，如果，则.求的值，等价于求原函数值为时对应的的值.7．【答案】【解析】分析：由对数函数的恒过点得出的关系式，再由基本不等式可求得最大值.详解：函数时，，函数恒过定点，点在直线上，所以.根据基本不等式，得，即.当且仅当，时取等号，故的最大值为，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．【答案】【解析】分析：求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.详解：，解得：.所以函数的定义域为，设内部函数，对称轴为，开口向下，在区间上单调递增，在区间上单调递减，外部函数为减函数，所以，函数的单调递增区间为.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查复合函数求单调区间，复合函数的单调性规律是“同增异减”，即与，若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则为减函数．9．【答案】【解析】分析：本题首先可根据过点求出，然后根据两函数互为反函数得出，最后代入即可得出结果.详解：因为函数图像经过点，所以，解得，，因为函数与函数互为反函数，所以，，故答案为：.10．【答案】【解析】分析：分析出内层函数在区间上的减函数，且，可得出关于实数的不等式组，进而可解得实数的取值范围.详解：令，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.由于函数在区间上为减函数，外层函数为增函数，则内层函数在区间上为减函数，所以，，且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于以下两点：（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；（2）不要忽略了真数要恒大于零.11．【答案】【解析】分析：将化为，利用对数函数单调性直接得解.详解：∵=，又单调递增，∴，故答案为：.12．【答案】【解析】分析：由幂函数的定义求出的值，利用定点求出的值，代入函数，进而得出函数的单调递增区间．详解：函数是幂函数，则，解得，又，则，解得，即令，解得，则的单调增区间为故答案为：13．【答案】【解析】分析：根据对数函数的单调性即可求出.详解：因为在上单调递减，所以，所以的值域为.故答案为：.14．【答案】3【解析】分析：利用对数运算公式直接求值.详解：故答案为：3.15．【答案】【解析】分析：首先求出函数的定义域，再根据对数函数及复合函数的单调性判断即可；详解：解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为令，则在上单调递减，在上单调递增，又函数在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，故答案为：