数学选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和课后作业题

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【名师】3.2 等比数列的前n项和-1练习一．填空题1．已知等比数列，则______.2．在正项等比数列中，已知，则的值为______.3．已知正项等比数列中，，，则的值为________.4．已知{an}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，则此数列的公比q＝_____．5．等差数列，，且是与的等比中项，则______；______.6．设数列中前项的和，则______.7．已知数列是公比为的正项等比数列，，对于任意的，都存在，使得，则q的值为________.8．在数列中，，，且数列为等比数列，则__________．9．已知数列的首项，，那么___________.10．1和4的等差中项是____________；4和_____________的等比中项是.11．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是______.12．若，是函数的两个不同的零点，且，，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则__________，__________13．在等比数列中，，，则________．14．已知数列满足，则数列是_________数列（填“递增”或“递减”），其通项公式________.15．等比数列中：则__________16．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为______．17．在等比数列中，，，则__________．18．已知等比数列中，，，则公比________.
参考答案与试题解析1．【答案】2【解析】根据等比数列的性质，求得的值.详解：由于数列是等比数列，故.故答案为【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.2．【答案】【解析】利用等比数列的性质即可得出．详解：解：正项等比数列{an}中，由，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．【答案】6【解析】根据等比数列的性质可推出为等比数列，求其前4项之积即可，详解：正项等比数列中，，故是等比数列，首项为，第二项为，所以，，因此数列的前12项之积为，.故答案为：6【点睛】本题考查等比数列的性质，证明数列为等比数列，对数和的运算，属于中档题.4．【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式列出方程，能求出此数列的公比.详解：∵{an}为递增的等比数列，a2=3，a3+a4=36，∴3q+3q2=36，且q>0，解得此数列的公比q=3.故答案为：3.【点睛】本题考查了等比数列公比的求解，考查运算求解能力，属于基础题．5．【答案】      【解析】由等差数列的通项公式及等比中项列出方程组即可求出首项和公差，利用裂项相消法求和即可.详解：由且是与的等比中项，可得，解得，所以，所以，故，故答案为：；【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和，属于中档题.6．【答案】【解析】由求得，在已知等式中用替换另一等式，两式相减后得的递推式，可构造出一新的等比数列，利用等比数列通项公式可求得，检验是否也适合此式即可得．详解：由①，取得：，即.当时，②，①－②得：，即..∵，∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴.，故答案为：.【点睛】本题考查由和的关系式求数列的通项公式，解题根据是，但要注意此式中，不包含．否则易出错．7．【答案】2或【解析】由题意可得，由于，，所以为整数，由可得的值为0或1，然后分情况求解即可详解：由题意有，可得，有，有，若对于任意的，都存在，使得，必有为整数，又由，有，可得，有，可得的值为0或1，①当时，；②当时，有，解得.故答案为：2或【点睛】此题考查等比数列的通项公式的基本量计算，考查对数的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题8．【答案】【解析】由等比数列通项公式求出，然后由累乘法求得．详解：∵为等比数列，由已知，，，∴，∴时，，也适合此式，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式．如果已知，则用累加法求通项公式，如果已知，则用连乘法求通项公式．9．【答案】【解析】由递推式变形为，同时计算，构造一个新的的等比数列，利用等比数列通项公式求得．详解：∵，∴，又，所以，即是等比数列，公比为2，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查由递推式求数列的通项公式，解题关键是构造出一个等比数列．10．【答案】      【解析】根据等差中项和等比中项的定义直接计算即可.详解：1和4的等差中项是；设和4的等比中项是，所以有，解之得：.故答案为：；.【点睛】本题考查等差中项和等比中项，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.11．【答案】【解析】由已知可得，再结合等比数列的性质可得的值详解：解：因为，是方程的两根，所以，所以可知，均为负，所以，由等比数列的性质得，所以，故答案为：【点睛】此题考查等比数列性质的应用，属于基础题12．【答案】    9  【解析】由，，-3适当排列后成等比数列，所以，则是方程的两个实数根，由根与系数的关系确定，，再根据等差数列和等比数列的性质求出，，以及.详解：由题意，，为方程的两根，，，由，得，，不妨设，，，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，则必是中间项，所以，又，，-3这三个数适当排列后成等比数列，则-3必是中间项所以，解得，，从，故答案为：；【点睛】本题考查等差，等比数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，重点考查转化与化归的思想，推理能力，属于基础题型.13．【答案】6【解析】根据是等比数列，且，，利用等比中项求解.详解：因为在等比数列中，，，所以，所以．因为，所以．故答案为：6【点睛】本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.14．【答案】递增      【解析】根据题意，将变形可得，据此分析可得列是以为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，变形可得，据此分析可得答案．【详解】根据题意，数列满足，即，又由，则，则数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，则，则数列是递增数列；故答案为：递增，.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列的通项公式，属于基础题．15．【答案】-1【解析】根据等比数列下标和性质，结合正弦函数求值，即可求得.【详解】因为数列是等比数列，故故.故答案为：-1.【点睛】本题考查等比数列下标和性质，以及特殊角的正弦值.16．【答案】.【解析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．详解：解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1＝0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1＝0的两个根，由韦达定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，则故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2）（1+q3）（q+q2），设t，则t2﹣2，因为q∈[，2]，且t在[，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，]，则ab＝t2+t﹣2，所以当t＝2时，ab取到最小值是4，当t时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：．【点睛】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．17．【答案】8【解析】可先计算出公比，从而利用求得结果.【详解】因为，所以，所以，则.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.18．【答案】【解析】根据等比数列通项公式求解即可.详解：，  .故答案为：.【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于容易题.