高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数课后练习题

课时跟踪检测（十九） 幂函数

层级(一)　“四基”落实练

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．1

C.   D．2

解析：选A　∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.

2．若f(x)＝x，则函数f(4x－3)的定义域为(　　)

A．(－∞，＋∞)   B.

C.   D.

解析：选D　易知f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，则4x－3∈(0，＋∞)，即x∈，故选D.

3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上单调递增，则n的值为(　　)

A．－1   B．1

C．－3   D．1和－3

解析：选C　由于幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)，

所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或－3.

当n＝1时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)单调递减，舍去；

当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)单调递增．故选C.

4．已知幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的部分图象如图，则点(ab－b，c2－c)所在象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选C　根据幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的部分图象，可得a为正偶数，a＞1，b为奇数且b＜0,0＜c＜1，∴ab－b＜0，且 c2－c＜0，故点(ab－b，c2－c)在第三象限．

5．(多选)若幂函数f(x)＝(m2＋m－11)xm＋7在(－∞，0)上单调递增，则(　　)

A．m＝3   B．f(－1)＝1

C．m＝－4   D．f(－1)＝－1

解析：选CD　∵幂函数f(x)＝(m2＋m－11)xm＋7在(－∞，0)上单调递增，∴m2＋m－11＝1，求得m＝－4或m＝3.当m＝－4时，f(x)＝x3，满足在(－∞，0)上单调递增；当m＝3时，f(x)＝x10，不满足在(－∞，0)上单调递增，故m＝－4，f(x)＝x3，f(－1)＝－1.

6．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，

所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.

答案：(－∞，0)

7．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．

解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.

答案：－1

8．比较下列各组数的大小．

(2)和；

(3)4.1和3.8.

解：(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以＞.

(2)＝，＝，

函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，

所以＞.

(3)4.1＞1＝1,0＜3.8＜1＝1，

所以4.1＞3.8.

层级(二)　能力提升练

1．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(　　)

A．a＋b＞0，ab＜0   B．a＋b＜0，ab＞0

C．a＋b＜0，ab＜0   D．a＋b＞0，ab＞0

解析：选BC　∵函数f(x)＝(m2－m－1) xm2＋m－3幂函数，∴m2－m－1＝1，求得m＝2 或m＝－1.对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴m2＋m－3＞0，∴m＝2，f(x)＝x3.已知a，b∈R，且f(a)＋f(b)＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)的值为负值．若A成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞0，不满足题意；若B成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·＜0，满足题意；若C成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＜0，满足题意；若D成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·＞0，不满足题意．

2．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.

解析：由题意得，m2－m＝3＋m，

即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.

当m＝3时，f(x)＝x－1，此时x∈[－6,6]，

∵f(x)在x＝0处无意义，∴不符合题意；

当m＝－1时，f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，

函数f(x)在[－2,2]上是奇函数，符合题意，

∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.

答案：－1

3．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)<f(a＋1)，则a的取值范围是________．

解析：因为f(x)＝x＝(x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

又f(10－2a)<f(a＋1)，

所以解得

所以3<a≤5.

答案：(3,5]

4．已知幂函数f(x)＝(k2－4k＋5)x－m2＋4m(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增．

(1)求m和k的值；

(2)求满足不等式(2a－1)－3<(a＋2)－的a的取值范围．

解：(1)∵幂函数f(x)＝(k2－4k＋5)x－m2＋4m，∴k2－4k＋5＝1，解得k＝2.

又∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴－m2＋4m＞0，解得0＜m＜4，

∵m∈Z，∴m＝1或m＝2或m＝3.

当m＝1或m＝3时，f(x)＝x3，图象关于原点对称，不合题意；

当m＝2时，f(x)＝x4，图象关于y轴对称，符合题意．

综上，m＝2，k＝2，f(x)＝x4.

(2)由(1)可得m＝2，

∴不等式即 (2a－1)－3＜(a＋2)－3.

而函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递减，

且当x＞0时，y＝x－3＞0，当x＜0，y＝x－3＜0，

∴满足不等式的条件为0＜a＋2＜2a－1或a＋2＜2a－1＜0或2a－1＜0＜a＋2，

解得－2<a<或a＞3，

故满足不等式(2a－1)－3<(a＋2)－的a的取值范围为∪(3，＋∞)．

5．已知f(x)＝(m2－2m－7)xm－2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．

(1)求m的值；

(2)求函数g(x)＝f(x)－(2a－1)x＋1在区间[2,4]上的最小值h(a)．

解：(1)∵f(x)＝(m2－2m－7)xm－2是幂函数，

∴m2－2m－7＝1，解得m＝4或m＝－2；

又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴m－2＞0，∴m的值为4.

(2)函数g(x)＝f(x)－(2a－1)x＋1＝x2－(2a－1)x＋1，

当a＜时，g(x)在区间[2,4]上单调递增，最小值为h(a)＝g(2)＝7－4a；

当≤a≤时，g(x)在区间[2,4]上先减后增，最小值为h(a)＝g＝－＋1；

当a＞时，g(x)在区间[2,4]上单调递减，最小值为h(a)＝g(4)＝21－8a.

综上可知，h(a)＝

层级(三)　素养培优练

1.幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn 的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn等于(　　)

A．1   B．2

C．3   D．无法确定

解析：选A　由条件知，M，N，

∴＝m，＝n，∴mn＝m＝m＝，∴mn＝1.故选A.

2．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2; ③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中一个函数，并给出这个函数的三个性质：

(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；

(3)在(－∞，0)上单调递增．

若给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．

解析：对于函数①，f(x)＝x－1是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有一个正确；对于函数②，f(x)＝x－2是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；对于③，f(x)＝x3是奇函数，值域为{y|y∈R}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有一个正确；对于函数④，f(x)＝x是奇函数，值域为{y|y∈R}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有一个正确．故只有②符合条件．

答案：②