高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品一课一练

习题课　三角恒等变换的应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021济宁高一期末)若tan α=2,则= (　　)

A. B. C. D.1

答案C

解析因为tan α=2,则.故选C.

2.化简sin+cos2+2sin2得(　　)

A.2+sin α B.2+sinα-

C.2 D.2+sinα+

答案C

解析原式=1+2sincos+1-cos2

=2+sin α-cos-α=2+sin α-sin α=2.

3.函数f(x)=sin xcos x+cos2x-1的值域为(　　)

A. B.

C.[-1,0] D.

答案A

解析f(x)=sin xcos x+cos2x-1

=sin 2x+-1=sin 2x+cos 2x-

=sin,

因为-1≤sin≤1,

所以y∈.

4.函数f(x)=sin2x--2sin2x的最小正周期是　　　　. 

答案π

解析f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-=sin2x+-,所以T==π.

5.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ=　　　　　. 

答案-

解析因为3sin x-cos x=2sin x-cos x=2sinx-,因为φ∈(-π,π),所以φ=-.

6.化简:=　　　　　. 

答案tan

解析原式==tan .

7.已知函数f(x)=.

(1)求f的值;

(2)当x∈时,求函数g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.

解(1)f(x)=

=

==2cos 2x,

所以f=2cos=2cos .

(2)g(x)=cos 2x+sin 2x=sin.

因为x∈,所以2x+,

所以当x=时,g(x)max=,

当x=0时,g(x)min=1.

等级考提升练

8.已知α满足sin α=,则coscos= (　　)

A. B. 

C.- D.-

答案A

解析coscos=cos --α·cos-α=sin-αcos-α=sin-2α=cos 2α=(1-2sin2α)=,故选A.

9.(2021黑龙江哈尔滨道里高一期末)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则(　　)

A.f(x)的最大值为1

B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点

C.f(x)的最小正周期为

D.x=为f(x)图象的一条对称轴

答案D

解析函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin 2x-cos 2x=2sin2x-,可得f(x)的最大值为2,最小正周期为T==π,故A,C错误;由f(x)=0,可得2x-=kπ,k∈Z,即为x=,k∈Z,可得f(x)在(0,π)内的零点为,故B错误;由f=2sin=2,可得x=为f(x)图象的一条对称轴,故D正确.故选D.

10.设a=2sin 13°cos 13°,b=,c=,则有(　　)

A.c<a<b B.a<b<c

C.b<c<a D.a<c<b

答案A

解析因为a=2sin 13°cos 13°=sin 26°,b==tan 26°,c==sin 25°,且正弦函数y=sin x在区间上单调递增,所以a>c;在区间上tan α>sin α,所以b>a,所以c<a<b,故选A.

11.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线(　　)

A.x= B.x= 

C.x= D.x=-

答案D

解析因为函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,所以f=0,即sin +λcos =0,解得λ=-,故g(x)=-sin xcos x+sin2x,整理得g(x)=-sin,所以对称轴直线方程为2x+=kπ+(k∈Z),当k=-1时,一条对称轴是直线x=-.

12.(多选题)(2020福建福州一中高一期末)以下函数在区间0,上单调递增的有(　　)

A.y=sin x+cos x 

B.y=sin x-cos x

C.y=sin xcos x 

D.y=

答案BD

解析对于A选项,y=sin x+cos x=sinx+,当x∈0,时,x+∈,所以函数在区间0,上不单调;对于B选项,y=sin x-cos x=sinx-,当x∈0,时,x-∈-,所以函数在区间0,上单调递增;对于C选项,y=sin xcos x=sin 2x,当x∈0,时,2x∈(0,π),所以函数在区间0,上不单调;对于D选项,当x∈0,时,y==tan x,所以函数在区间0,上单调递增.

13.(多选题)(2020山东枣庄高一期末)设函数f(x)=sin2x++cos2x+,则f(x)(　　)

A.是偶函数

B.在区间0,单调递减

C.最大值为2

D.其图象关于直线x=对称

答案ABD

解析f(x)=sin2x++cos2x+

=sin2x+=cos 2x.

f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),故f(x)是偶函数,A正确;

∵x∈0,,所以2x∈(0,π),因此f(x)在区间0,上单调递减,B正确;

f(x)=cos 2x的最大值为,C不正确;

当x=时,f(x)=cos2×=-,因此当x=时,函数有最小值,因此函数图象关于x=对称,D正确.

14.已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin +cos 的值为　　　　　. 

答案

解析因为θ∈(π,2π),所以∈,π,

所以sin ,

cos =-=-,

所以sin +cos .

15.化简:tan 70°cos 10°(tan 20°-1)=　　　　　. 

答案-1

解析原式=·cos 10°·-1

=·cos 10°·

=·cos 10°·=-=-1.

16.已知函数f(x)=4tan xsincos.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

解(1)f(x)的定义域为.

f(x)=4tan xcos xcos

=4sin xcos

=4sin x

=2sin xcos x+2sin2x-

=sin 2x+(1-cos 2x)-

=sin 2x-cos 2x=2sin.

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

设A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=.所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.

新情境创新练

17.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道(Rt△EFG,E是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E是AB的中点,F,G分别落在AD,BC上,且AB=20 m,AD=10 m,设∠GEB=θ.

(1)试将污水管道的长度l表示成θ的函数,并写出定义域;

(2)当θ为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度.

解(1)由题意,∠GEB=θ,∠GEF=90°,

则∠AEF=90°-θ.

∵E是AB的中点,AB=20 m,AD=10 m.

∴EG=,EF=.

∴FG=.

则l=,定义域θ∈.

(2)由(1)可知,l=,θ∈.化简可得l=.

令t=sin θ+cos θ=sinθ+.

∵θ∈,∴θ+∈,

可得sinθ+∈,1,

则t∈.

可得sin θcos θ=,且t≠1,

那么l=.

当t=时,l取得最大值为20(1+).

此时t=sinθ+=,即θ+,∴θ=.故当θ=时,污水净化效果最好,此时管道的长度为20(1+)m.