初中数学中考复习 专题12 圆的有关性质与计算 （原卷版）

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专题12  圆的有关性质与计算

【典例分析】

【考点1】垂径定理

【例1】（2019·湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　）

A． B． C． D．

【变式1-1】（2019·四川中考真题）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为（    ）

A． B．4 C． D．4.8

【变式1-2】（2019·四川中考真题）如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为(    )

A． B． C．6 D．12

【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系

【例2】（2019·四川自贡中考真题）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.

求证：⑴；

⑵.

【变式2-1】（2018·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．

【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．

【考点3】圆周角定理及其推论

【例3】（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（    ）

A．20° B．35° C．40° D．55°

【变式3-1】（2019·北京中考真题）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ）

A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°

C．MN∥CD D．MN=3CD

【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（  ）

A． B． C． D．

【考点4】圆内接四边形

【例4】（2019·贵州中考真题）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；

【变式4-1】（2019·甘肃中考真题）如图，四边形内接于，若，则（    ）

A． B． C． D．

【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（     ）

A． B． C． D．

【考点5】正多边形和圆

【例5】（2019·山东中考真题）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．

【变式5-1】（2019·山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．

【变式5-2】（2019·陕西中考真题）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.   

【考点6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）

【例6】（2019·广西中考真题）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，求的长（结果保留）．

【变式6-1】（2019·湖北中考真题）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.

【变式6-2】（2019·四川中考真题）如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（    ）．

A． B． C． D．

【考点7】与圆锥有关的计算

【例7】（2019·湖南中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，

（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；

（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．

【变式7-1】（2019·广西中考真题）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是_____度．

【变式7-2】（2019·辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．

【变式7-3】（2019·西藏中考真题）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　）

A． B． C． D．

【达标训练】

一、单选题

1．（2019·山东中考真题）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（     ）

A．32° B．31° C．29° D．61°

2．（2019·广西中考真题）如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（　　）

A． B． C． D．

3．（2019·吉林中考真题）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（    ）

A．30° B．45° C．55° D．60°

4．（2019·山东中考真题）如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，，如果，那么的度数为（  ）

A． B． C． D．

5．（2019·贵州中考真题）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）

A． B．2 C． D．

6．（2019·甘肃中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）

A．54° B．64° C．27° D．37°

7．（2018·贵州中考真题）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　）

A．55° B．110° C．120° D．125°

8．（2019·浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（    ）

A．1 B． C． D．2

9．（2019·浙江中考真题）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（  ）

A． B． C． D．

10．（2019·宁夏中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以点为圆心，以为半径作扇形，扇形．则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

11．（2019·江苏中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）

A． B． C． D．

12．（2019·山东中考真题）如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）（   ）

A． B． C． D．

13．（2019·浙江中考真题）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（      ）

A． B． C． D．

14．（2019·湖南中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(     )

A．2π B．4π C．12π D．24π

15．（2019·浙江中考真题）如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（  ）

A． B． C． D．

16．（2019·山东中考真题）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

二、填空题

17．（2019·广西中考真题）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．

18．（2019·江苏中考真题）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______．

19．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____

20．（2019·辽宁中考真题）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____．

21．（2019·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．

22．（2019·江苏中考真题）如图，点、、、、在上，且弧为，则________．

23．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____．

24．（2019·湖北中考真题）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________.

25．（2019·江苏中考真题）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .

26．（2019·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

27．（2019·浙江中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰激凌外壳的侧面积等于______（计算结果精确到个位）.

28．（2019·山东中考真题）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____．

三、解答题

29．（2019·天津中考真题）已知，分别与相切于点，，，为上一点．

（Ⅰ）如图①，求的大小；

（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．

30．（2019·黑龙江中考真题）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；

（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.

31．（2019·河南中考真题）如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，且点E是的中点，则DF的长为　   　；

②取的中点H，当的度数为　   　时，四边形OBEH为菱形．

32．（2019·江苏中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．

(1)求⊙O的半径；

(2)点P为中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；

(3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

33．（2019·广西中考真题）如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．

（1）若，求证：；

（2）若，求的长．

34．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且

（1）求证：；

（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．

35．（2019·内蒙古中考真题）如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接．

（1）求⊙半径的长；

（2）求证：．

36．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.

①求∠AQB的度数；

②若OA=18，求弧AmB的长.

37．（2019·江苏中考真题）（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图中的）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．

（实际应用）:观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．

（1）求的度数；

（2）已知km，求这两个观测点之间的距离即上的长．（取）

38．（2019·湖北中考真题）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．

（1）求证：是圆的切线；

（2）若，，求优弧的长．

39．（2019·湖南中考真题）如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．

(1)求证：EC是的切线；

(2)当时，求阴影部分面积．

40．（2019·贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.

(1)求证：FG是⊙O的切线；

(2)已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.

41．（2019·广东中考真题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，以点为圆心的与相切于点，分别交、于点、.

（1）求三边的长；

（2）求图中由线段、、及所围成的阴影部分的面积.