河北省石家庄市部分学校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题(含答案)

这是一份河北省石家庄市部分学校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题(含答案)，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知函数，则，已知点，，，，则，已知，，且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用奻泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml的泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A.全部暍完；B.喝剩约；C.喝剩约一半；D.其他情况.该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（ ）
A.40B.30C.22D.14
6.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
7.当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质.光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）.若光线强度要减弱到原来的以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：，）
A.30块B.31块C.32块D.33块
8.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期是B.的图象关于直线对称
C.在上有4个极值点D.在上单调递减
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知点，，，，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知，，且，则（ ）
A.B.C.D.
11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，，则（ ）
A.十面体的上、下底面之间的距离是
B.十面体的表面积是
C.十面体外接球球心到平面的距离是
D.十面体外接球的表面积是
12.已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A.B.的图象关于点对称
C.是周期函数，且最小正周期为8D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离是，则______.
14.写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：______.
①焦点在轴上；②离心率为2.
15.某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目，要求每人只参加一个项目，且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是______.
16.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，.若，则不等式的解集是______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.
（1）求的前项和；
（2）记，求数列的前项和.
18.（12分）
某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有兵乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个兵乓球.顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：
1 3 1 1 6 3 3 4 1 2
4 1 2 5 3 1 2 6 3 1
6 1 2 1 2 2 5 3 4 5
（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；
（2）某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为，商场就给该顾客的所有购物打折），记该顾客最后购物打折，求的分布列和数学期望.
19.（12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
20.（12分）
如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（12分）
已知椭圆的离心率是，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知，直线与椭圆交于，两点，若直线，的斜率之和为0，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知函数的图象在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：）
高三数学考试参考答案
1.A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.
由题意可得，，则.
2.D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
由题意可得，则解得，从而，故复数在复平面内对应的点位于第四象限.
3.B 【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养.
当时，，则排除A，D；当时，，则排除C.故选B.
4.A 【解析】本题考查充要条件与三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想.
由，得，由，得，则“”是“”的充分不必要条件.
5.C 【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养.
由题中统计图可知参加这次会议的总人数为，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为.
6.A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养.
如图，分别取，的中点，，连接，，.易证四边形是平行四边形，则，.因为，分别是，的中点，所以，则是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，，，，故.
7.B 【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养.
设原来的光线强度为，则要想通过块这样的玻璃之后的光线强度，即，即，即，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的以下.
8.D 【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.
画出的图象，如图所示，
由的图象可知的最小正周期为，则A错误.的图象关于直线对称，则B错误.在上有6个极值点，则C错误.当时，，则.令，解得.因为，所以.当时，.因为，所以在上单调递减，则D正确.
9.ABC 【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养.
由题意可得，，，，，则，，，故A，B，C正确，D错误.
10.ACD 【解析】本题考查不等式，考查逻辑推理的核心素养.
因为，，且，所以，即，则A正确；
当，时，，则B错误；
，当且仅当时，等号成立，则C正确；
因为，且，所以，，所以，则D正确.
11.ABD 【解析】本题考查多面体外接球，考查直观想象的核心素养.
如图，补全长方体.由题中数据可知，则，故A正确.
因为，，所以的面积，则十面体的表面积，故B正确.
因为十面体由长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到，所以长方体的外接球就是十面体的外接球.设十面体外接球的半径为，则，则十面体外接球的表面积是，故D正确.
因为，，所以，所以，则十面体外接球球心到平面的距离是
，故C错误.
12.ABD 【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养.
因为，且，所以，所以，则A正确.因为的图象关于直线对称，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，则的图象关于对称，且，故B正确.因为，所以，所以，所以，则，即的周期为4，故C错误.因为，且，所以.因为，所以.因为，所以，则，故D正确.
13.4 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养.
由题意可得，解得.
14.（答案不唯一） 【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养.
满足即可.
15. 【解析】本题考查概率，考查分类讨论的数学思想.
甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目的情况有种，其中符合条件的情况有种，故所求概率.
16. 【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想.
设，则.当时，因为，所以，所以在上单调递增.因为是奇函数，所以，所以，则是奇函数.，即.因为，所以，则等价于或解得或.
17.解：（1）设数列的公差为，由题意可得即
因为，所以，则.
（2）由（1）可知，
则，
故.
评分细则：
（1）第一问中，也可以将，，用和表示，从而求出，再根据前项和公式求出；
（2）第二问中求出不扣分；
（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
18.解：（1）由题意可知某顾客抽奖一次，积分为3分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为3分的概率为.
某顾客抽奖一次，积分为2分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为2分的概率为.
（2）由题意可知的可能取值为4，5，6，7，8.
，
，
，
，
则的分布列为
故.
评分细则：
（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分;
（2）第二问中，得到随机变量的所有取值得1分，每求出一个取值的概率得1分，只求出的值，没有列出表格，不予扣分;
（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
19.解：（1）因为，所以，
即，解得或（舍去）.
因为，所以，则.
（2）设，，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，①
在中，由余弦定理可得，
即，②
联立①②，解得，，则.
故的面积为.
评分细则：
（1）第一问中，求出，得3分，没有说明，直接得到，不予扣分；
（2）第二问中求出，的值得4分；
（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
20.（1）证明：由正三棱柱的性质，易证，则.
因为，所以，即.
因为，是棱的中点，所以.
由正三棱柱的定义可知平面，则.
因为，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，平面，且，所以平面.、
因为平面，所以平面平面.
（2）解：取的中点，连接.易证，，两两垂直，故以为坐标原点，分别以，
，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.
设，则，，，
故，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.
评分细则：
（1）第一问中，也可以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，，由，得到平面平面；
（2）第二问中，也可以先找出平面和平面的夹角，再通过余弦定理求出；
（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
21.解：（1）由题意可得解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）设，
联立整理得，
则，.
设直线，的斜率分别是，，
因为，所以，解得，
则.
因为点到直线的距离，
所以的面积.
设，则，从而，
当且仅当，即，即时，等号成立.
经验证，当时，直线与椭圆有两个交点，则的面积存在最大值.
评分细则：
（1）第一问中，求出的值得1分，求出的值得2分；
（2）第二问中，没有检验直线与椭圆的位置关系，扣1分；
（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
22.解：（1）因为，所以，
由题意可得解得
（2）由对一切恒成立，则至少满足，因为为整数，所以.
要证对于任意恒成立，即证对于任意恒成立，
即证对一切恒成立.
设，则.
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
故.
因为，所以，即，所以，则，
从而对一切恒成立，即对一切恒成立.
故.
评分细则：
（1）第一问中，正确求导得1分，列出方程组得1分；
（2）第二问中，得出得1分，构造出函数得1分，直接得出，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
8
7
6
5
4