2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．设，，则A． B． C． D．【答案】B【分析】，即.【详解】，即..故B正确.【解析】集合间的关系. 2．幂函数在上为减函数，则实数的值为（    ）A．或 B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，符合题意.当时，，在上递增，不符合题意.综上所述，的值为.故选：D3．命题“存在实数满足”的否定为（    ）A．任意实数满足 B．任意实数满足C．任意实数满足 D．存在实数满足【答案】A【分析】特称命题的否定为：改量词，否结论，据此解答即可.【详解】因为命题“存在实数满足”，所以改量词：“存在实数”改为“任意实数”；否结论：否为；故命题“存在实数满足”的否定为“任意实数满足”.故选：A.4．函数的增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】由得，解得，的开口向下，对称轴为，函数在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.故选：D5．下列函数中图像关于轴对称的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数图像即可【详解】对A选项：如图所示，A错误 对B选项：如图B错误对C选项： 如图C错误对D选项：如图D正确故选：D.6．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，，，，据此判断，方程的根应落在区间（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由零点存在定理及单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上.【详解】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以在上有唯一零点，即，故，所以方程的根落在区间上，且为，对于ACD，易知选项中的区间与没有交集，故不在ACD选项中的区间上，故ACD错误；对于B，显然满足题意，故B正确.故选：B.7．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数图象知定义域为且为偶函数，确定各选项函数定义域，判断奇偶性，应用排除法确定答案.【详解】根据函数图象可知，定义域为且为偶函数，对于A，，即在处有定义，故A错误；对于C，因为，所以的定义域为，又，故是奇函数，故C错误；对于D，因为，所以的定义域为，又，故是奇函数，故D错误.对于B，因为，所以定义域为，又，故是偶函数，由于选项ACD已然排除，而选项B中的解析式又满足图像的性质，故B正确.故选：B8．当时，，，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质判断出大小关系.【详解】依题意，所以，，所以，，，，所以.故选：C 二、多选题9．若函数，则（    ）A．在区间上递增 B．在区间上递减C．在时有最大值 D．在时有最小值【答案】AB【分析】由对勾函数的性质对选项逐一判断，【详解】由得，则在和上单调递减，在和上单调递增，故A，B正确，当时，，当时，，故C，D错误，故选：AB10．已知，，，则（    ）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为2 D．最小值为2【答案】BCD【分析】利用基本不等式的相关知识计算判断即可.【详解】对于A，因为，，，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以最大值为，故A错误；对于B，由选项A的分析易知，B正确；对于C，因为，当且仅当且，即时，等号成立，所以最小值为2，故C正确；对于D，因为，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以最小值为2，故D正确.故选：BCD.11．若不等式在区间上恒成立，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先由与的性质得到，再由函数单调性的加减性质得到的单调性，从而求得，由此得到的取值范围，从而得解.【详解】因为在区间上恒成立，而，所以在上恒成立，故，即，则在上单调递减，令，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，则，即，解得，所以，由此易得AD错误，BC正确.故选：BC.12．设函数，集合，则下列命题正确的是（    ）A．当时，B．当时C．若，则k的取值范围为D．若（其中），则【答案】ABD【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示：令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，∴，可得， 2、，，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误. 三、填空题13．若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.【答案】【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.【详解】对于，因为，所以由的单调性得，即，所以对于，有，即，由的单调性得，解得，所以的定义域为.故答案为：.14．为上的奇函数，且，当时，，则______________.【答案】0【分析】根据条件可得，然后可得答案.【详解】因为为上的奇函数，且，当时，，所以，故答案为：15．设函数是上的减函数，则的取值范围是______________.【答案】【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得,所以的取值范围为.故答案为：.16．函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是_______.【答案】【分析】根据函数定义域，指数函数单调性，不等式解法，求得，，然后对分类讨论，由解决即可.【详解】由题知，，所以，解得，即，因为是上的增函数，所以由得，所以当，即时，，又因为，即，所以，解得；当，即时，，满足；当，即时，，又因为，即，所以，解得或，所以‘综上可得，的取值范围是.故答案为： 四、解答题17．计算：(1)；(2).【答案】(1)6(2) 【分析】利用对数与指数幂运算法则及对数的换底公式求解即可.【详解】（1）原式；（2）原式.18．已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式．（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值．【答案】（1）；（2）0.【解析】（1）根据函数为奇函数即可求出解析式；（2）令，转换为二次函数求最值即可.【详解】（1）∵为奇函数，且在处有意义，∴，                   即．∴．        设，则，∴；又∵，∴；所以．（2）当时，∴设，则∵∴，当时，取最大值，   所以最大值为19．对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；(2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：）(3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为，二阶魔方复杂度上限约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，，）【答案】(1)答案见解析；(2)515；(3)乙同学的近似值更接近，理由见解析. 【分析】（1）由对数的概念与指数的运算性质证明，（2）由对数的运算性质求解，（3）由对数的运算性质求解的近似值后判断，【详解】（1）法一：设，，，法二：，设，则，.（2），，的位数为515.（3） ，， ，乙同学的近似值更接近.20．已知函数是奇函数.(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，为增函数(2) 【分析】（1）由求得a，再检验即可；由得到，再利用指数函数的单调性判断；（2）将转化为成立，再令求解.【详解】（1） ，  ，             检验：，定义域为，，为奇函数，故.       ∴，∴为增函数.（2） ，，       设，因为，即存在，使b成立，当时，，.21．定义在R上的函数，当时，且对任意的，有．(1)证明：；(2)证明：对任意的恒有；(3)证明：是增函数；(4)若，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(4) 【分析】（1）利用赋值法求得正确答案.（2）通过证明时，，进而证得结论成立.（3）由，证得，从而证得结论成立.（4）根据已知条件化简不等式，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】（1）令，，，.（2）令，，由已知，当时，，，，，，，， ，.（3），且，，，是增函数.（4），，，，即，解得.的取值范围是.22．函数，方程有三个互不相等的实数根，从小到大依次为.(1)当时，求的值；(2)求符合题意的的取值范围；(3)若对于任意符合题意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)0(2)(3) 【分析】（1）代入，令，求得，从而得解；（2）结合（1）中结论，分类讨论、与三种情况，结合图像即可得到的取值范围；（3）分类讨论、与三种情况，结合图像分析得到与的范围，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，令，，所以.（2）因为，所以①当时，由（1）知，有三个相异实根；.②当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，所以，则；③当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，所以，则；由①②③知：符合题意的的取值范围是.（3）由（1）与（2）①知，当时，，所以；由（2）②知，当时，因为，所以是方程的两根，，因为，所以，(i)当，即时，为方程较小根，所以，因为在单调递减，所以，则，所以；(ii)当，即时，为方程较大根，，，；由（2）③知，当时，，.因为是方程的两根，，所以，所以，又因为为方程较大根，，则，所以综上：实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．