2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期期中数学试题（解析版）

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2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若向量，互相垂直，则（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据空间垂直向量的坐标表示求得，结合空间向量的集合意义即可求出的模.【详解】因为向量，互相垂直，所以，即，解得，故所以．故选：B2．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】双曲线的渐近线方程是，即可得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程是，即故选：A【点睛】本题考查的是由双曲线的方程得其渐近线方程，简单题.3．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将直线化为斜截式，写出直线的斜率和倾斜角，再求得新直线的倾斜角和斜率.【详解】将化为，则该直线的斜率为、倾斜角为，所以旋转后新直线的倾斜角为，则新直线的斜率为.故选：A.4．已知直线与直线平行，则等于（    ）A．3或 —2 B．—2 C．3 D．2【答案】C【分析】根据两直线平行的条件求解，注意检验．【详解】由题意，解得或，时，两直线方程分别为，，平行，时，两直线方程分别为，，两直线重合，舍去．所以．故选：C．5．已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据题意得两圆的位置关系为内含，进而得的最小值为.【详解】解：由题知，圆半径为，圆心坐标为，圆半径为，圆心坐标为，所以两圆的位置关系为内含，所以，，所以的最小值为．故选：A6．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于两点，且弦被点平分，则直线的方程为A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则则即直线的斜率为则直线的方程为即故选7．在正方体中,棱的中点分别为,则直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中点为,连接,令正方体棱长为2,根据中位线可得,直线与所成角即直线与所成角,在正方体中求出各个长度,再在中用余弦定理即可求得结果.【详解】解:由题正方体,分别取中点为,连接,如图所示:不妨记正方体棱长为2,分别为中点,,,,即,故,在中,由余弦定理得:,所以直线与所成角的余弦值为.故选:A8．已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先求出焦点到渐进线的距离为，由勾股定理求出的边长，再由面积得到的关系，从而求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为： 过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，则 所以在中，，所以 则，即所以，即，所以，故 故选：C【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于基础题.二、多选题9．到直线的距离等于的直线方程可能为（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】易知所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，利用平行线间的距离求解.【详解】因为所求直线与直线的距离为，所以所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，所以，解得或，故所求直线方程为或．故选：CD10．已知曲线C的方程为，则（    ）A．曲线C可以表示圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【答案】CD【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可.【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确；若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确.故选：CD11．直线与圆的交点个数可能为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】求出已知直线过的定点，且判断出定点在圆上可得答案.【详解】．令解得故直线l经过点．又，所以点在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可能为1或2．故选：BC.12．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的:曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知:曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,则下列命题中正确的是（    ）A．曲线过坐标原点 B．曲线关于坐标原点对称C．曲线关于坐标轴对称 D．若点在曲线上,则的面积不大于【答案】BCD【分析】根据曲线的定义,求出曲线的方程,将代入即可判断选项A的正误,将代入,即可判断选项B的正误,分别将,代入即可得选项C的正误,根据点在曲线上,即有成立,,根据的范围,即可得选项D的正误.【详解】解:不妨设曲线上任意点,由曲线定义可知:,即曲线的方程为:,将代入可得: ,即与矛盾,故选项A错误;若在曲线上,则有成立,将代入曲线的方程,即,所以在曲线上,即曲线关于坐标原点对称,故选项B正确;若在曲线上,则有成立,将代入有:,故曲线关于轴对称,再将代入有:,故曲线关于轴对称,综上:曲线关于坐标轴对称,故选项C正确;若在曲线上,则,,当且仅当时取等,所以的面积不大于,故选项D正确.故选:BCD三、填空题13．抛物线的准线方程是______.【答案】【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.【详解】由得抛物线方程为，所以，所以抛物线的准线方程是，故答案为：.14．正四面体的棱长为,则的体积为__________．【答案】【分析】由正四面体的棱长为,可将其放到棱长为1的正方体中,正四面体体积为正方体体积减去4个全等的小三棱锥的体积,计算出结果即可.【详解】解:由题知正四面体,故可将正四面体放到正方体中如图所示:由正四面体的棱长为,可得正方体棱长为1,由图可知正四面体体积为正方体体积减去4个全等的小三棱锥的体积,即.故答案为:15．圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．【答案】【解析】根据圆的普通方程得到圆心和半径，再求圆心关于直线的对称点，即可得答案；【详解】，圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，对称圆的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查圆的标准方程、点关于直线对称，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.16．已知抛物线（）和动直线（，）交于两点，，直角坐标系原点为O，记直线的斜率分别为，，且恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为_______________.【答案】【分析】的方程与抛物线方程联立，消去，由根与系数的关系，利用，求出的值，即可得出直线过定点．【详解】解：将直线与抛物线联立，消去，得，，；，，；，解得，令，得，直线过定点．故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查韦达定理的运用，属于中档题．四、解答题17．求满足下列条件的曲线的方程:(1)离心率为,长轴长为8且焦点在x轴的椭圆的标准方程;(2)与椭圆有相同焦点,且经过点的双曲线的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据椭圆的离心率及长轴长,求出,根据焦点在x轴上,写出椭圆的方程即可;(2)先求出椭圆的焦点坐标即双曲线的焦点坐标,设出双曲线的标准方程,将代入得到之间的方程,根据焦点再得到一个之间的方程,联立两个方程即可得双曲线的方程.【详解】（1）解:由题知长轴长为8,故,,故,,椭圆焦点在轴上,椭圆的标准方程为: ;（2）由题椭圆为,所以椭圆焦点坐标为:,即为双曲线的焦点坐标.设双曲线的实半轴长,虚半轴长,半焦距分别为,则双曲线的标准方程为,①,将代入双曲线方程有:②,联立①②可得:,故双曲线方程为: .18．已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先边角互化，再利用诱导公式和正弦的二倍角公式，可求出得值，进而求得角的大小；（2）根据的面积可求得，联立可求得得值，再根据余弦定理可求得值，进而求得其周长.【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，，∴．（2）由题意可得，，∴，∵联立可得，，，由余弦定理可得，，，此时周长为．19．如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别为1,1,2,,．(1)若中点为,证明:平面;(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1) 取中点为,连接,通过长度和中位线可证明,即,根据线面平行判定定理即可证明;(2)用等体积法,先根据长度和垂直关系求得的面积,再根据,即可求得距离.【详解】（1）证明:取中点为,连接,如图所示:分别为中点,,且,,,,故四边形为平行四边形,故,不含于平面,平面,故平面;（2）连接,两两垂直且长度分别为1,1,2,且,,,将底面拿出考虑如下:,,,,,,记到平面的距离为,则,解得:,故到平面的距离为.20．已知焦点在y轴上的抛物线过P（2，2）(1)求抛物线的标准方程；(2)已知直线与抛物线交于点A，B，若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可设抛物线的方程为，代入点求得参数值，即可得出答案；（2）设，联立，利用韦达定理求得，根据以为直径的圆过原点，可得，则，求得参数，即可得解.【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的方程为，代入点得，解得，所以抛物线的标准方程，准线方程为；（2）解：设，联立，消得：，，则，，因为以为直径的圆过原点，所以，则，即，即，所以，解得，又，所以，所以直线的方程为.21．如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为平面，面，所以.因为是正方形，所以又，面，面，故平面（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.因为平面，且与平面所成角为，即，所以，由已知，可得，.则，，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则因为平面，所以为平面的法向量，.所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.22．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线与交于两点，若与轴垂直时，(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由离心率得出关系，由通径得出关系，结合椭圆关系式即可求解；（2）需分类讨论，分直线的斜率不存在、直线的斜率为0、直线的斜率存在且不为0三种情况，对第三种情况，可联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出，利用求出直线方程，并将代入椭圆方程，代换出，化简并结合不等式即可求解.【详解】（1）由题意得，，即，则，把代入椭圆方程可得，∴，∴，即，∴，∴，，∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，的坐标为，①当直线的斜率不存在时，，，则；②当直线的斜率为0时，，，则；③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立，得，设，，则，，则，，设点，则，即，代入椭圆方程得，∴，则，∴，∴，又，∴的取值范围是，综上所述，的取值范围是.