初中数学中考复习 2020中考数学 数形结合思想专题练习（含答案）

2020中考数学 数形结合思想专题练习

1．已知直线y1＝2x－1和y2＝－x－1的图象如图X5－1所示，根据图象填空．

(1)当x______时，y1＞y2；当x______时，y1＝y2；当x______时，y1＜y2；

(2)方程组的解集是____________．

图X5－1                        图X5－2

2．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)(如图X5－2所示)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是____________．

3．如图X5－3，正三角形ABC的边长为3 cm，动点P从点A出发，以每秒1 cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(单位：秒)，y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为(　　)

图X5－3   

A                                    B

C                                    D

4．如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．

图X5－4

5．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5.

(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)；

(2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？

图X5－5

6．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

(1)求y1与y2的函数解析式；

(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？

(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？

图X5－6

7．如图X5－7，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1,0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

图X5－7

8．如图X5－8，抛物线y＝x2－x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC.

(1)求AB和OC的长；

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

图X5－8

9．如图X5－9，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过点A，O，B的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

图X5－9

10．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图X5－10放置，点A，C的坐标分别为(0,3)，(－1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．

图X5－10

11. 如图所示，已知正比例函数和，过点作轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与两点，求三角形的面积（其中为坐标原点）。

12. 如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为．分别过这些点作轴的垂线与三条直线，，相交，其中，则图中阴影部分的面积是_________．

13. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．

（1）若一个等腰直角三角板的顶点与点重合，求直角顶点的坐标；

（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点顺时针旋转，旋转角度为，当点落在直线上的点处时，求的值；

（3）在（2）的条件下，判断点是否在过点的抛物线上，并说明理由．

14. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，

⑴ 直接写出、两点的坐标；

⑵ 直线与直线交于点，动点从点沿方向以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒（即）过点作轴交直线于点，①若点在线段上运动时（如图），过、分别作轴的垂线，垂足分别为、，设矩形的面积为，写出和之间的函数关系式，并求出的最大值；②若点经过点后继续按原方向、原速度运动，当运动时间为何值时,过、、三点的圆与轴相切.

参考答案

1．(1)x＞0　x＝0　x＜0　(2)

2．x1＜－2或x＞8　3.C　4.10

5．解：(1)设函数的解析式为y＝kx＋b，

由图形可知，其经过点(2 009,24)和(2 011,26)，

则解得

∴y与x之间的关系式为y＝x－1 985.

(2)令x＝2 012，得y＝2 012－1 985＝27(万亩)．

∴该市2012年荔技种植面积为27万亩．

6．解：(1)y1＝20x，y2＝10x＋300.

(2)y1是不推销产品时，没有推销费，且每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．

(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．

7．解：(1)把点A(－1,0)的坐标代入抛物线的解析式

y＝x2＋bx－2，整理后，解得b＝－.

所以抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

顶点D.

(2)∵AB＝5，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，

∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．

(3)作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0,2)，OC′＝2.

连接C′D交x轴于点M.根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时，MC＋MD的值最小．

设抛物线的对称轴交x轴于点E.

显然有△C′OM∽△DEM.

∴＝.∴＝.∴m＝.

8．解：(1)在y＝x2－x－9中，

令x＝0，得y＝－9，∴C(0，－9)．

令y＝0，即x2－x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝6，

∴A(－3,0)，B(6,0)．

∴AB＝9，OC＝9.

(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC.

∴＝2，即＝2.

∴s＝m2(0＜m＜9)．

9．解：(1)如图D94，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，

图D94

∵OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB位置，∴∠BOC＝60°，OB＝4.

∴BC＝4×sin60°＝2 ，OC＝4×cos60°＝2.

∵点B在第三象限，∴点B(－2，－2 )．

(2) 由函数图象，得抛物线通过(－2，－2 )，(0,0)，(4,0)三点．设抛物线的解析式为

y＝ax2＋bx，由待定系数法，得解得

∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋x.

(3)存在．理由：如图D，抛物线的对称轴是x＝－，解得x＝2.设直线x＝2与x轴的交点为D，设点P(2，y)．

①若OP＝OB，则22＋|y|2＝42，解得y＝±2 .

即点P坐标为(2,2 )或(2，－2 )．

又点B(－2，－2 )，∴当点P为(2,2 )时，点P，O，B共线，不合题意，舍去．故点P坐标为(2，－2 )．

②若BO＝BP，则42＋|y＋2 |2＝42，解得y＝－2 ，点P的坐标为(2，－2 )．

③若PO＝PB，则22＋|y|2＝42＋|y＋2 |2，解得y＝－2 ，点P坐标为(2，－2 )．

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，－2 )．

10．解：(1)∵▱A′B′OC′由▱ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0,3)，点A′的坐标为(3,0)．

∴抛物线过点C(－1,0)，A(0,3)，A′(3,0)．

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

代入，可得解得

∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

(2)∵AB∥CO，∴∠OAB＝∠AOC＝90°.

∴OB＝＝.

又∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，

∴△C′OD∽△BOA又OC′＝OC＝1.

∴＝＝.

又△ABO的周长为4＋，

∴△C′OD的周长为＝1＋.

(3)连接OM，设点M的坐标为(m，n)，

∵点M在抛物线上，∴n＝－m2＋2m＋3.

∴S△AMA′＝S△AMO＋S△OMA′－S△AOA′

＝OA·m＋OA′·n－OA·OA′

＝(m＋n)－＝(m＋n－3)

＝－(m2－3m)＝－(m－)2＋.

∵0<m<3，∴当m＝，n＝时，△AMA′的面积有最大值．

∴当点M的坐标为时，△AMA′的面积有最大值，且最大值为.

11. 【解析】由题意，∵，轴

∴将分别代入得，

∴

∴

【答案】4

12. 【答案】

13. 【答案】（1）在图1中，∵直线交轴于点，

∴点，即．过点作轴于点.

∵是等腰直角三角形，直角顶点为，

∴，

∴

∴．

（2）∵直线交轴于点，

∴．

在图2中，过点作于点.

在中，，

∴，

∴，．

在中，利用勾股定理，得，

在中，，

∴．

∵，

∴，

∴．

（3）∵抛物线过点，

∴，

∴抛物线的解析式为．

设点，则．

又点在直线上，

∴，

∴，

∴（负值不符合题意，舍），

．

将代入抛物线的解析式中，

∵

∴点在过点的抛物线上．

14. 【答案】⑴

⑵ ①∵点在上，

∴点坐标为，点

∴

∴，

∴当时，．

②若点经过点后继续按原方向、原速度运动，过、、三点的圆与轴相切，则圆心在轴 上，且轴垂直平分，, ， ∴，

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∴当时，过、、三点的圆与轴相切．