第七章 章末复习提升课

章末复习提升课

复数的概念

　设z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，求m取何值时，

(1)z是纯虚数；

(2)z是实数．

【解】　(1)若z为纯虚数，则

即

解得

所以当m＝3时，z是纯虚数．

(2)若z是实数，则

解得

所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．

复数相关概念的应用技巧

(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．

(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．　

　若复数是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．－

C.   D．－

解析：选A.因为＝＝是纯虚数，所以a＝2.

复数的运算

　(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)

A．1＋i   B．－1－i

C．－1＋i   D．1－i

(2)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．1＋i   B．－1－i

C．－1＋i   D．1－i

【解析】　(1)由＝1＋i，

得z＝＝

＝＝－1－i，故选B.

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.由z＋＝2，可得a＝1.由(z－)i＝2，得b＝－1，所以z＝1－i.

【答案】　(1)B　(2)D

利用复数的四则运算求复数的一般思路

(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算．

(2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数进行运算化简．　

　＋(1－i)2＝________．

解析：＋(1－i)2

＝＋(－2i)＝－2i

＝－2i＝－2i＝－i.

答案：－i

共轭复数，复数的模

　已知复数z＝，则复数z的模为(　　)

A．5   B.

C.   D.

【解析】　法一：由题意，知z＝＝＝＝＝＝－2－i，所以|z|＝＝，故选B.

法二：|z|＝＝＝＝，故选B.

【答案】　B

化复为实

利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化的思想．根据复数模的意义，可以简化计算．　

1．已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若为纯虚数，则|z1|＝(　　)

A.   B.

C．2   D.

解析：选D.由于＝＝＝为纯虚数，则a＝1，则|z1|＝，故选D.

2．设|z|＝1，则|z2－z＋1|的最大值为________．

解析：因为|z|＝1，则可设z＝cos θ＋isin θ，且z·z＝1.故|z2－z＋1|＝|z2－z＋z·z|

＝|z|·|z＋z－1|

＝1·|2cos θ－1|＝|2cos θ－1|，

当cos θ＝－1时，|2cos θ－1|＝3.

所以|z2－z＋1|的最大值为3.

答案：3

复数的三角形式

　把下列复数转化为三角形式．

(1)－1；(2)2i；(3)－i.

【解】　(1)r＝＝1，辐角的主值为θ＝arg(－1)＝π，所以－1＝cos π＋isin π.

(2)r＝＝2，辐角的主值为θ＝arg(2i)＝，所以2i＝2.

(3)r＝＝2，由tan θ＝＝－和点(，－1)在第四象限，得θ＝arg(－i)＝2π－＝，

所以－i＝2.

复数的代数形式化为三角形式的方法

(1)求复数的模r＝.

(2)由tan θ＝及点(a，b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下，只须求出复数的辐角的主值即可)．

(3)根据公式写出复数的三角形式．　

1．复数z＝－2的辐角的主值是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.z＝－2＝

2＝2

＝2，故复数z的辐角的主值为.

2．把与复数z＝1－i对应的向量按逆时针方向旋转，则与所得的向量对应的复数为(　　)

A．－1＋i　　　　　　　　　　 B．1＋i

C．－1－i   D．1－i

解析：选B.因为z＝1－i＝，所以z按逆时针方向旋转得

＝

＝

＝

＝1＋i.

1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．－i　　　　　　　　　 B.i

C．－i   D．i

解析：选C.依题意得＝＝－＝i，其共轭复数为－i，故选C.

2．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析：选D.因为z1＝＋i，z2＝－＋i，

所以z＝＝＝＝－i，

所以复数z在复平面内对应的点为，

在第四象限．故选D.

3．复数z1＝3，z2＝1－i，则的辐角的主值是(　　)

A．－   B.

C．π   D.

解析：选B.z2＝1－i＝，

所以arg＝－π＋2π＝.

4．定义运算＝ad－bc，若复数x＝，y＝，则y＝________．

解析：依题意，y＝4i(x＋i)－2xi

＝4i2＋2xi＝－4＋

＝－4＋＝－4＋2＝－2.

答案：－2

5．已知复数z满足|3＋4i|＋z＝1＋3i.

(1)求；

(2)求的值．

解：(1)因为|3＋4i|＝5，

所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i，所以＝－4－3i.

(2)＝＝2.

6．已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量，(O为原点)．

(1)若向量表示的点在第四象限，求a的取值范围；

(2)若向量对应的复数为纯虚数，求a的值．

解：(1)因为复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，向量表示的点在第四象限，所以

解得a<－5.

所以a的取值范围是a<－5.

(2)因为＝－，

所以向量对应的复数为z2－z1＝[a－1＋(a2＋2a－1)i]－[a2－3＋(a＋5)i]＝－(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i.

根据向量对应的复数为纯虚数，可得－(a2－a－2)＝0且a2＋a－6≠0.解得a＝－1.