第三章　单元质量测评

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第三章　单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C.[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　根据题意有解得x≥1且x≠2.
2.函数f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是(　　)
A.[1,6] B．[－3,1]
C.[－3,6] D．[－3，＋∞)
答案　C
解析　因为f(x)＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上单调递增，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以x∈[2,5]的值域是[－3，6].
3.函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

答案　B
解析　因为f(x)＝|x－1|＝由分段函数的作图方法可知B正确.
4.已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t h的函数表达式是(　　)
A.x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B.x＝
C.x＝
D.x＝
答案　D
解析　由题意，得A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地需2.5 h，以50 km/h的速度由B地返回A地需3 h．
所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5 故x＝
5.已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A.2 B．－ C. D.
答案　C
解析　由f(x)＝3得或或解得x＝.故选C.
6.下列选项中正确的是(　　)
A.函数f(x)＝－x2＋x－6的单调增区间为
B.函数f(x)＝－x2在[0，＋∞)上单调递增
C.函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递减
D.函数f(x)＝－x＋1是增函数
答案　A
解析　函数f(x)在上单调递增，A正确；函数f(x)＝－x2在[0，＋∞)上单调递减，B错误；函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，C错误；函数f(x)＝－x＋1是减函数，D错误．故选A.
7.已知幂函数y＝(a2－2a－2)xa在实数集R上单调，那么实数a等于(　　)
A.－1或3 B．1 C．－3 D．3
答案　D
解析　由幂函数的定义可知a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1.当a＝3时，y＝x3，满足在实数集R上单调；当a＝－1时，y＝x－1，不满足在实数集R上单调．∴a＝3.故选D.
8.函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　)
A.a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3
答案　B
解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，又由f(2－a)＋f(4－a)<0，得f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)，所以2－a>a－4，即a<3.故选B.
9.设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减．若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)＝f(x2)
C.f(x1) D.无法比较f(x1)与f(x2)的大小
答案　C
解析　∵x1<0且x1＋x2>0，∴－x2 又函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(－x2)>f(x1)．
而函数f(x)又是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．
∴f(x1) 10．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A­B­C­M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　)


答案　A
解析　依题意，当0 S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM
＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；
当2 S△APM＝×1×＝－x＋.
∴y＝f(x)＝
再结合图象知应选A.
11.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是(　　)
A.413.7元 B．513.7元
C.546.6元 D．548.7元
答案　C
解析　由题意易知，付款168元的没有任何优惠，付款423元的是按照9折优惠，所以购物款数为423×＝470元，所以此人实际上买了168＋470＝638元的商品，若一次购买，应付款500×0.9＋138×0.7＝546.6元．故选C.
12.已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　)
A.F(x)的最大值为3，最小值为1
B.F(x)的最大值为2－，无最小值
C.F(x)的最大值为7－2，无最小值
D.F(x)的最大值为3，最小值为－1
答案　C
解析　由F(x)＝知，当3－2|x|≥x2－2x，即当2－≤x≤时，F(x)＝x2－2x；当x2－2x>3－2|x|，即当x<2－或x>时，F(x)＝3－2|x|，因此F(x)＝
＝作出其图象如图所示，

观察图象可以发现，F(x)max＝F(2－)＝7－2，无最小值，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13.函数f(x)＝的单调递减区间是________．
答案　[－1,1]
解析　由题意，得－x2－2x＋3≥0.解得－3≤x≤1；
设t＝－x2－2x＋3，y＝f(x)，
则y＝为增函数；
所以t＝－x2－2x＋3在[－3,1]上的单调递减区间，便是f(x)在[－3,1]上的单调递减区间；
t＝－x2－2x＋3的对称轴为x＝－1；
所以f(x)的单调递减区间为[－1,1].
14.奇函数f(x)在区间[3,10]上单调递增，在区间[3,9]上的最大值为6，最小值为－2，则2f(－9)＋f(－3)＝________.
答案　－10
解析　因为函数在区间[3,10]上单调递增，所以在区间[3,9]上单调递增．
所以函数在区间[3,9]上的最小值为f(3)＝－2，
最大值为f(9)＝6.
又因为函数f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝2，
f(－9)＝－f(9)＝－6.
所以2f(－9)＋f(－3)＝2×(－6)＋2＝－10.
15.已知函数f(x)为定义在[2－a,3]上的偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f>f(－m2＋2m－2)，则m的取值范围是________．
答案　
解析　由偶函数的定义可得2－a＋3＝0，
则a＝5，
因为m2＋1>0，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，
且f(－m2－1)＝f(m2＋1)，f(－m2＋2m－2)＝f(m2－2m＋2)，
所以m2＋1 解得1－≤m<.
16.对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
答案　1
解析　不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，
当2－x2>x，即－2 当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.
故h(x)＝

其图象如图实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2 由图象可知，当x取1时，h(x)取最大值1.
所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．

解　(1)函数f(x)的大致图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2,4]．

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax－1.
(1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
解　(1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，
此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，
故当x＝－1时，函数f(x)min＝－2.
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，
f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，即4ax＝0，故a＝0.
(3)函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上单调递减，
∴4≤－a，即a≤－4，
故实数a的取值范围为(－∞，－4].
19.(本小题满分12分)已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，解得b＝0.
又f(2)＝，∴＝，∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋，则f(x)在(－∞，－1]上单调递增．
证明：设x1 ∵x11,1－>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴f(x)在(－∞，－1]上单调递增.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[－1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
解　(1)f(x)＝－2－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.
(2)函数f(x)图象的对称轴是x＝，要使f(x)在[－1,0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2.
(3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2,3]上递减．
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则即此时m无解．
②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2,3]上递增，则即解得m＝6.
③当2<<3，即4 综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3].
21.(本小题满分12分)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0 L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零？并说明理由．
解　(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.①
又函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a>0.
由f(x)＝a2＋，知＝0，
即4a－b2＝0.②
联立①②，解得a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
于是F(x)＝
(2)由(1)，得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝2＋1－.
因为当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，
所以－≤－2或－≥2，即k≤－2或k≥6.
所以实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
(3)因为f(x)为偶函数，所以b＝0，
所以f(x)＝ax2＋1，
所以F(x)＝
不妨设m>n，则m>0，n<0，且|m|>|n|.
又a>0，所以F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－(an2＋1)＝a(m2－n2)>0，
所以F(m)＋F(n)能大于零.