2023高考数学二轮复习专题10 对数与对数函数 （解析版）

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专题10 对数与对数函数
【考点预测】
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象



图象


性质
定义域：
值域：


过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，

【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)

【题型归纳目录】
题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
题型二：对数函数的图像
题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））
题型四：对数函数中的恒成立问题
题型五：对数函数的综合问题

【典例例题】
题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
【答案】（1）7；（2）109；（3）．
【解析】
（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可；
（2）利用指对互化可得实数x的值；
（3）先求出，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．
【详解】
（1）原式=；
（2）因为，所以，所以，所以x=109；
（3）因为，所以，所以
．
例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
【答案】（1）18；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到原式，再利用换底公式化简即可得到答案.
（2）首先根据题意得到，，再利用换底公式化简即可得到答案.
【详解】
（1）原式

（2）由得到，
由，得到，即.
.
【点睛】
本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.
例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：；
（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）设，应用指对数的互化有，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求、，即可证结论；
（2）应用指对数互化有，应用对数的运算性质求，进而可求的值.
【详解】
（1）设，则.
∴，
∴，
而，
∴.
（2）由题设知：，
得，，
∴，
则.
例4．（2022·全国·模拟预测）若，，则（       ）
A．a＋b＝100 B．b－a＝e
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数和对数互化，得到a，b后逐项判断.
【详解】
对于A，由，，得，，所以，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数，满足，，，，，，则（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据得到，再利用换底公式得到，利用，即，求出，，所以.
【详解】
由，得，.
由，，所以，
所以，解得：，则，即，
所以，，所以，
故选：C.
例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质判断区间单调性，根据解析式知恒过且，进而确定区间值域，再由对数函数性质求的对应区间值域，即可得不等式解集.
【详解】
由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，
由，即恒过且，
所以上，上，
而在上递增，且上，上，
所以的解集为.
故选：C
例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分、和，依次解不等式，再取并集即可.
【详解】
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，易知，解得；
当时，不等式为，解得；
综上，解集为：.
故答案为：.
例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数满足：（1），且，都有；（2），则___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）
【答案】，（logax，(0