2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．下列说法正确的是（    ）A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆C．圆锥的轴截面是等腰三角形D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆【答案】C【分析】根据圆柱的定义、球的性质以及圆锥的性质，逐一判定，即可求解，得到答案【详解】解：对于A，若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，故A错误；对于B，当这两点是直径的两个端点时，可作无数个大圆，故B错误；对于C，根据圆锥的定义可知圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D，用一个平面去截球，该平面需过球心的时候，所得的圆才是大圆，故D错误；故选：C2．已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（    ）A．与不是共线向量 B．与同向的单位向量是C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】C【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.【详解】对于A，，，由于，所以与不是共线向量，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，，，故C错误；对于D，，，设平面的法向量，则，取，得，故D正确，故选：C.3．在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（    ）A．2022 B．2024 C．1011 D．1012【答案】D【分析】利用数列的周期性，即可计算求解.【详解】∵，，，，…，∴数列是以3为周期的周期数列.又，，∴.故选：D4．如图，正四棱锥，记异面直线与所成角为，直线与面所成角为，二面角的平面角为，则A． B． C． D．【答案】C【详解】连接与，交于，取的中点，取的中点， 分别连接， 在正方形中，，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，即，在直角中，则， 直线与所成的角，即为，所以， 二面角的平面角为，所以，因为，，， 可得，所以，故选C.  二、填空题5．如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为________．【答案】####【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同一平面内两直线所成的角进行求解.【详解】如图，连接，由正方体的性质可知，且，故异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，均为面对角线，∴，为等边三角形，所以，即为异面直线与所成的角.故答案为：.6．计算：___________.【答案】##【分析】根据无限递缩等比数列前n项和公式可得结果.【详解】故答案为：7．若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；【答案】【分析】根据题意得圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，根据几何性质即可求解．【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由题意知，圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，所以，即．所以侧面积．【点睛】本题考查圆柱的几何性质，表面积的求法，属基础题8．在三棱锥中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若，则点Q定是的______心．【答案】外【分析】由可得，故是的外心.【详解】解：如图，∵点在底面ABC内的射影为,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案为：外.9．设，向量，，，且，，则的值为______________.【答案】【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，向量，，，，解得，又，，解得，则.故答案为：.10．已知数列的前项和，则______.【答案】7【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案.【详解】当时，；当时，.所以，所以.故答案为：11．正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为___________．【答案】##【分析】根据棱台的几何特点，结合已知数据，作出辅助线，解三角形即可.【详解】取的中点分别为，连接，取上靠近的三等分点分别为，连接，过作，垂足为，作图如下：根据题意可得：，即为所求斜高；易知四边形为平行四边形，故可得，在△中，，在△中，，在△中，，故.故答案为：.12．已知数列的前项和，则数列的前项和________.【答案】.【分析】利用和求，进而得到的通项公式，再利用等比数列前项和公式计算即可.【详解】由得当时，所以，又因为，所以，，即是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：.13．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为__________【答案】##【分析】用半球的体积减去圆锥的体积求得正确答案.【详解】图中阴影部分绕旋转一周所得几何体为一个半球“挖掉”一个圆锥，其体积为：.故答案为：14．若三棱柱的底面是以为斜边的直角三角形，⊥平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为 _____．【答案】【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】三棱锥的外接球即直三棱柱的外接球，直角三角形的外心在斜边的中点，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：15．已知平面内有四点，且任意三点不共线，点为平面外一点，数列为等差数列，其前项和为，若，则___________.【答案】2020【分析】先利用四点共面证明，所以能得到然后利用等差数列的性质即可求解【详解】因为平面内有四点，且任意三点不共线，所以，所以，可整理得，即，易得，因为，所以，即因为为等差数列，所以，故答案为：202016．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，O为底面中心，M为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若，则点P形成的轨迹长度为___________【答案】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点的轨迹方程，得到的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】解：建立空间直角坐标系．如图所示，设，，，，2，，，，，，．于是有．由于，所以，即，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为．故答案为： 三、解答题17．已知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)求，并求当n取何值时有最小值．【答案】(1)(2)，当时，取得最小值 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及求和公式，列出方程组，求解即可；（2）等差数列的求和公式求解，再结合二次函数的性质讨论即可.【详解】（1）解：设的公差为d，由题意得，即，解得，所以的通项公式为；（2）解：由（1）得， 所以当时，取得最小值，最小值为.18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，，E为PC的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）【详解】试题分析：（1）设为的中点，连接，，由为的中位线，推出∥，再根据，，，即可得四边形为平行四边形，从而可证∥平面；（2）由为的中点可得三棱锥，根据，，可得为等边三角形，再根据⊥平面，即可求出三棱锥的体积，从而可得三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：设为的中点，连接，．    ∵为的中位线∴∥，且=，又∵∥，∴∴四边形为平行四边形∴∥．又 平面，平面∴∥平面 （2）解：∵为的中点∴三棱锥 又∵，∴为等边三角形∴又∵，∴∵⊥平面∴三棱锥的体积 ∴三棱锥E—PBD的体积 19．某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图）．(1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据：）；(2)若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用圆锥侧面积公式可求得侧面积，由此可求得结果；（2）将圆锥侧面展开，可知所求最小长度即为，由扇形弧长公式可求得展开图圆心角，利用余弦定理可求得.【详解】（1）由题意知：圆锥的底面半径，母线长，圆锥的侧面积（），装饰屋顶大约需要朵鲜花.（2）将圆锥侧面沿母线展开，是侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，，，在中，，，，解得：，即灯光带的最小长度为.20．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．(1)求证：A1O⊥BD；(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，. 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面BCED，从而可得A1O⊥BD；（2）根据向量法即可求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；（3）假设存在点F，由直线DF和BC所成角的余弦值可得，从而可求得.【详解】（1），且D，E分别为AB，AC的中点，所以，即，又O为DE的中点，所以，又平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE平面BCED，所以平面BCED，而平面BCED，所以A1O⊥BD.（2）过点作交于点，因为AB=AC=，BC=4，所以，，，，以点为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则，，，，，，，设平面A1BD的法向量为，则有，即，令，则，则，设直线A1C和平面A1BD所成角为，则,所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.（3）设线段A1C上是否存在点F，且，，，则，因为直线DF和BC所成角的余弦值为，则，即有，解得：或（舍）即点F与点重合时，直线DF和BC所成角的余弦值为，此时：.21．已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；(3)令，是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)3，14 【分析】小问1：由得，根据等差定义即可证明；小问2：由小问1得，所以恒成立，求得最大值即可；小问3：求得，令，检验可得k的值为3，14．【详解】（1）由得，所以， ，所以数列是等差数列，公差为1，首项为2；（2）由1问知，所以，由得对任意的恒成立，所以，设解得，所以时取最大值，故，所以；（3）由1问知，则所以令，当时，；当时，．当时，，所以不是整数．所以满足条件的k的值为3，14．