2022-2023学年江苏省苏州高新区第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州高新区第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州高新区第一中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，所以．故选：A．2．已知命题，则命题的否定为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题的否定为：.故选：D3．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指数函数的性质求得，由对数函数的性质求得，由三角函数的诱导公式，可得，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，由对数函数的性质，可得且，即，由三角函数的诱导公式，可得，所以.故选：D.4．已知函数则方程的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案.【详解】当时，，故，解得或（舍去）；当时，，故，解得或（舍去）.综上所述：或.故选：B5．已知角的终边上一点，则（    ）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【分析】可由题意，利用坐标分别表示出，然后再计算即可得到答案.【详解】因为角的终边上一点，所以，，所以.故选：C.6．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.【详解】令，要满足在上有两个不相等的实根，则 ，解得故选：D7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（    ）倍.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.【详解】令日本东北部海域发生里氏级地震释放出来的能量为，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为，则有，即，所以所求结果为倍.故选：A8．已知函数，若（其中．），则的最小值为（    ）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.【详解】,由，，即，，当且仅当，即时等号成立，故选：B 二、多选题9．已知函数，，则下列选项中正确的有（    ）A．为奇函数 B．为偶函数C．的值域为 D．有最小值0【答案】AB【分析】由奇偶性定义可判断AB；利用单调性可判断CD；【详解】因为，，所以为奇函数，故A正确；当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立；故C错误；因为，所以，所以为偶函数，故B正确；当时，是单调递增函数，所以；当时，是单调递减函数，，故D错误；故选：AB.10．以下四个命题，其中是真命题的有（    ）．A．命题“”的否定是“”B．若，则C．函数且的图象过定点D．若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则【答案】ACD【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；对于B，若，则，根据的单调性，可知，故B不正确；对于C，当时，，故其过定点，故C正确；对于D，设扇形的半径为，弧长为，则有，又，故D正确.故选：ACD11．已知函数，下列说法正确的是（    ）．A．函数的图象恒过定点B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上的最小值为0D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是【答案】ACD【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；当时，，所以，故C正确；当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.故选：ACD12．已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.【详解】当时，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，即，，A正确； ，B正确；，，，即，即，展开得到，解得，由于，等号不成立，故C错误；，故，，D正确.故选：ABD 三、填空题13．已知幂函数满足，则 ______________【答案】【分析】先求得的解析式，然后求得.【详解】设，则故答案为：14．函数的定义域为______________【答案】【分析】由函数式有意义可得．【详解】由题意，解得．故答案为：．15．已知，且，则______.【答案】【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】，又，所以，又，所以，所以为负值，所以.故答案为：.16．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．【答案】或【分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.【详解】令，记的零点为，因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，则，或或当时，得，，满足题意；当时，得，，满足题意；当时，，解得.综上，t的取值范围为或.故答案为：或 四、解答题17．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)-1(2)2 【分析】根据三角函数的定义，，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；【详解】（1）根据三角函数的定义，．     原式；（2）原式．18．设函数的定义域为集合的定义域为集合．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.【详解】（1）由，解得或，所以．．当时，由，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，即，解得，所以．因为“”是“”的必要条件，所以．所以，解得．所以实数的取值范围是．19．设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．(1)求的解析式；(2)用定义证明为上的增函数，并求在上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据为奇函数，可得，可得，又过点，代入，可求得a，b的值，经检验符合题意，即可得答案.（2）利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域.【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即． 又因为函数的图象经过点，所以，即． 解得，故， 当时，，即为奇函数，故符合条件．（2）任取，且，则．因为，所以，又因为，所以．即，故为上的增函数．  因为在上也递增，所以当时，，即，所以在上的值域为20．已知.(1)求函数的定义域；(2)求证：为偶函数；(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【解析】（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．（3）将方程变形为，即，设（），再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：（1） ，解得，即函数的定义域为；（2）证明：∵对定义域中的任意，都有∴函数为偶函数；（3）方程有两个实数根，理由如下：易知方程的根在内，方程可同解变形为，即设（）.当时，为增函数，且，则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．21．某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了10%的污染物，请解决下列问题：(1)后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间（精确到）？（参考数据：，）【答案】(1)10h后还剩下81%的污染物(2)33h 【分析】（1）根据时得到时，然后将代入中得到，解得，即可得到，然后将代入求即可；（2）令，然后列方程求即可.【详解】（1）由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么.所以，当时，，即10h后还剩下81%的污染物.（2）当时，有，解得，即污染减少50%大约需要花33h.22．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．【答案】（1）见解析； （2）； （3）.【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．【详解】（1）任意,,因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．（2）.因为是“距”增函数，所以恒成立，因为,所以在上恒成立，所以，解得，因为,所以.（3）因为，，且为“2距”增函数，所以时，恒成立，即时，恒成立，所以，当时，，即恒成立，所以, 得;当时，，得恒成立，所以,得,综上所述，得.又，因为,所以，当时，若，取最小值为；当时，若，取最小值.因为在R上是单调递增函数，所以当，的最小值为；当时的最小值为，即 .【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．