人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用随堂练习题

5.7  三角函数的应用（精练）

【题组一 圆周运动】

1．（2021·全国高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（    ）

A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5

【答案】A

2．（2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ）

A．水斗作周期运动的初相为

B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加

C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是

D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6

【答案】AD

3．（2021·全国高一课时练习）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则

D．不论为何值，是定值

【答案】BD

4．（2021·全国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，函数单调递增.

C．当时，函数最小值为.

D．当9时，

【答案】BD

5．（2021·全国高一课时练习）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？

（2）转四圈需要多少时间？

（3）你第四次距地面最高需要多少时间？

（4）转60分钟时，你距离地面是多少？

【解】（1）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．

（2）每转一圈需要12分钟，

转四圈需要分钟．

（3）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面

40.5米，半径40米，

出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点，

你第四次距地面最高需要：分钟．

（4）由已知可设，，

由周期为12分钟可知，

当时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以，即，

，

转60分钟时，你距离地面高度为：（米)．

【题组二 几何问题】

1．（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.

【答案】15米

2．（2021·江苏高一期中）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．

（1）当时，求矩形ABCD的面积；

（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．

【解】（1）在中，，，

在中，，

所以，

所以，

设矩形ABCD的面积为S，则.

（2）在中，，．

在中，，

所以，

所以，

设矩形ABCD的面积为S，

则，

，

由，得，

所以当，即时．

因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．

3．（2021·江苏高一专题练习）圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，测得建筑物的高度为h，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为和，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为，且与都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h，，，表示）

解：由题可知，在中，，

设，

则，

在中，，

则．

在中，

∴

由正弦定理可知

，

即．

∴

答：索菲亚教堂的高度为．

【题组三 其他问题】

1．（2021·全国高一课时练习）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示：

（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式.

（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于小时.

【解】（1）由表格可知函数的最大值为，最小值为，，

，又，，

当时，，解得：，

.

（2）由得：，即，

解得：，

这种细菌一年中大约有天（或天）的存活时间大于小时.

2．（2021·广东铁一中学高一月考）“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数的图象，且图象的最高点为．中间部分是长为1千米的直线段，且．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧．

（1）试确定的值；

（2）若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点Q落在半径上，另一顶点P落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？

【解】（1）∵，∴，∴．

图象过，∴，又，∴．

（2）由（1）知，交y轴于，又，

∴．

又，∴，，

∴

又，∴时，此时矩形面积最大为．

3．（2021·兴仁市凤凰中学高一期末）某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：

据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象．

（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；

（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？

【答案】（1）；（2）至或至.

【解析】1）根据数据，可得，

，，

，

，

函数的表达式为；

（2）由题意，水深，

即，

，

，，，1，

，或，；

所以，该船在至或至能安全进港．

4．（2021·北京市第一六一中学）海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．

试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．

【解】设与之间的函数关系式为，

则由表中数据可得，且，

故且，所以

因为当时，，所以，

解得，故，其中.

故答案为：.

5．（2021·全国高一课时练习）埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口，其水深度（米）时间（，单位：时）的函数，记作，下面是水深与时间的数据：

经长期观察，的曲线可近似地看出函数（其中，，的图象.

（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；

（2）一般情况下，轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的（船舶停靠时，近似认为海底是平面），停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港，其最大吃水深度（船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）.

【解】（1）根据表格可得出：， ，.由可知；当时函数取最大值，即，，可得，又因为，得到，函数的近似表达式为.

（2）由题意得航行时，即.

因为，所以.

通过正弦函数图象可知，当，

即时，.

由于停泊时的要求恒成立，

“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港，

它至多能在港内停留小时.

6．（2021·全国高一课时练习）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.

（1）根据图中数据，试求的表达式.

（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？

【解】（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以

（2）依题意令，即

所以

解得

因为

所以，又

即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；

7．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.

（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

参考数据：

【解析】（1）

由图象可知，，

则有

又因为时取最大值6.5，可得，

所以

（2）货船需要的安全水深为米，

所以当时就可以进港.

令，

得

得，

即，

当时，；当时，，

所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.