专题08 隐圆问题（1）-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题08 隐圆问题（1）

【问题导入】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——隐圆问题．

以下是几种常见的隐圆模型，我们将从以下7种模型对“隐圆问题”进行详细讲解

【题型一：定点定长型】

【例1——到定点距离相等的点】如图,菱形ABCD中,∠BAD=120º,对角线BD=,BD与AC交于点O,P是同一平面的内一个动点,PC=4,若点P到直线BD的距离为2,则∠BPC的度数为______________

【答案】15º,60º或75º

【解析】解：∵PC=4，C是定点，

∴P的运动轨迹是一个圆

∵四边形ABCD是菱形，BD=，∠BAD=120º

∴BC=CD=AB=AD=AC=4

∴P的轨迹如图所示

∵点P到直线BD的距离为2

又AO=CO=2

所以P的所有情况为：

∴∠BP1C=60°，∠BP2C=15°，∠BP3C=75°

综上，∠BPC的度数为：15º,60º或75º

【练1】在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为_____cm2.

【答案】6π

【解析】解：因为FE=2，P为EF的中点，木棒EF紧贴着矩形的边滑动

∴在EF的移动过长中，P到四个定点的距离都是1

∴P点的运动路径如下图所示

∴围城图形的面积为：S=2×3-π×12=6π

【例2——圆上的点到定点的距离】

点P为平面内的一点，已知点P到⊙O的最短距离是5cm，最长距离是9 cm，求⊙O的直径为_______ cm

【答案】4或14 cm

【解析】解：①如图所示，当点P在圆内时，PA为最短距离，PB为最长距离，此时直径AB=PA+PB=14 cm

②点P在圆外时，PA为最短距离，PB为最长距离，此时直径AB=PB-PA=4 cm

综上，圆的直径为4或14 cm

【练】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O

的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________。

【答案】4

【解析】解：∵OA=OB，∠APB=90°

∴PO=

∴当OP最短时，AB有最小值

连接CO，此时CO有最小值，此时OP也最小

∵OC=5，∴OP=5-3=2

∴AB=4

∴AB的最小值为4

【例3——圆上的点到直线的距离】

如图,在Rt△ABC=90º,∠C=90º,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_____.

【答案】1.2

【解析】解：∵CF=FP=2，F为定点，所以P点的运动轨迹是以F为圆心，2为半径的圆

当FH⊥AB时，点P到AB的距离最小

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°

∴△AFM∽△ABC

∴

∵CF=2，AC=6，BC=8

∴AF=4，AB=10

∴

∴FH=3.2

此时P到AB的距离=3.2-2=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2

【练】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．

【答案】

【解析】解：∵△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN

∴MA’=MA=1

∴A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧

连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小，过点M作MH⊥CD交CD的延长于点H

∵菱形ABCD的边长为2 ，M为AD的中点，

∴MD=1

∵∠A=60°

∴∠HDM==60°

∴HD=，HM=

∴在Rt△HMC中，CM=

此时A’C=

【题型二：直角对直径】

【模型】一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

【例1：找直角】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为3，则线段DH长度的最小值是　　．

【答案】

【解析】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

AB=CD，∠BAD=∠CDA，AE=DF

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1+∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

则OH＝AO＝AB＝，

在Rt△AOD中，OD＝＝，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值＝OD﹣OH＝

【练1】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．

【答案】4﹣4

【解析】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC．

∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC＝∠PAB，

∴∠ABP+∠PAB＝90°，

∴∠APB＝90°，

∵OA＝OB，

∴OP＝AB＝4，OC＝＝4，

∵PC≥OC﹣OP，

∴PC≥4﹣4，

∴PC的最小值为4﹣4，

【例2：找定边】

如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．

【答案】﹣2

【解析】解：如图，取AC的中点O'，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，

∴∠AEC＝90°，

∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

∴CO'＝AC＝2，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝＝3，

在Rt△BCO′中，BO′＝＝，

∵O′E+BE≥O′B，

∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，

【练2】以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE与F, 线段FG的最小值为　 　．

【答案】

【解析】解：连接AC，作GI⊥AC，连接AG

∵GO⊥AB

∴OA=OB

∵在Rt△AGO中，AG=2,OG=1

∴AG=2OG，AB=2AO=

∴∠AGO=60°

∵GC=GA

∴∠GCA=∠GAC

∵∠AGO=∠GCA+∠GAC

∴∠GCA=∠GAC=30°

∴AC=2AO=，MG=CG=1

∵∠AFC=90°

∴F点的轨迹是以I为圆心，AC为直径的圆弧上

当点F在IG的延长线上，FG最小，最小值=FI-GI=

∴线段FG的最小值为

【例3：找定边与直角】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．

【答案】﹣2

【解析】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，

∵BC＝4，

∴CF＝2，

∵∠ACB＝90°，AC＝10，

∴AF＝，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CED＝∠CEB＝90°，

∴E点在⊙F上，

∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，

∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝﹣2．

【练3】如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　  　．

【答案】

【解析】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，

∴点G的运动轨迹时以M为圆心，BM为半径的圆弧

∵正方形的边长为4

∴BD=4

∴BM=MO=

在Rt△AMO中，AM=

又MG＝MB＝，

∴AG≥AM﹣MG＝，

当A，M，G三点共线时，AG最小＝，

【题型三：定边对定角】

【模型】在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．

当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．

若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

【例】如图，等边△ABC边长为，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．

【答案】2

【解析】解：∵CD＝AE，

∴BD＝CE，

在△ABD和△BCE中，

AB=BC，∠ABD=∠BCE，BD=CE

∴△ABD≌△BCE（SAS），

故∠BAD＝∠CBE，

∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，

∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，

∴∠APB＝120°，

∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，

∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，

∴△AOC≌△BOC（SSS），

∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，

∵∠AOB+∠ACB＝180°，

∴∠OAC+∠OBC＝180°，

∴∠OAC＝∠OBC＝90°，

∵，

∴，

∴

∴OP＝2，

∴PC的最小值为OC﹣r＝4-2＝2．

故答案为：2．

【练1】如图,∠xOy=45º,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在Ox,Oy上移动,其中AB=10,那么点O到AB的距离的最大值为______．

【答案】

【解析】解：作△AOB的外接圆⊙M

∵AB=10，∠AOB=45°，点O在⊙M上，

∴∠AMB=90°

∴AM=BM=

过点M作MH⊥AB

∵AB是⊙M上的一条弦

∴当O在MH的反向延长线上时，点O到AB的距离最大

此时，最大距离=OM+MH

∵AM=，AH=AB=5

∴MH=5

∴点O到AB的距离的最大值为

【练2】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．

【答案】4＜BC≤

【解析】解：作△ABC的外接圆，如图，

∵∠BAC＞∠ABC,AB＝4,

当∠BAC＝90°时，BC是直径，此时BC最长，

∵∠C＝60°，

∴sin∠C＝

∴BC=,

当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC＝AB＝4,

∵∠BAC＞∠ABC,

∴4＜BC≤

【练3】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．

【答案】

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝2，∠ABC＝∠BAC＝60°，

又∵∠PAB=∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°

∴∠APC＝120°

∴点P的运动轨迹是，当O，P，B三点共线时，PB最小

如图所示，设OB与AC交于点D， 此时PA=PC，OB⊥AC

∴AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°

∴PD=AD×tan30°=

∴BD=AD=

∴PB=BD-PD=

∴线段PB长度的最小值为

【题型四】定角夹定高】

【模型】在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型.

如右图所示,在△ABC中,∠BAC=α为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,△ABC的面积存在最小值.

1.找出“隐圆”---三角形外接圆；   2.定高过外心(半径+弦心距)≥定高.

【例】如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60º,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.

【答案】

【解析】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证△AEF´≌△AEF,作△AEF´的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点H,AG⊥BC于点G,则∠F´OH=60º,设⊙O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.

∵OA+OH≥AG，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

【练1】如图,在△ABC中,∠A=60º,BC边上的高为,求BC的最小值.

【答案】6

【解析】解：作△ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作OE⊥BC

∵∠BAC=60°

∴∠BOC=120°，∠BOE=60°

∴OE=OB，BE=OB

∴当半径OB最小时，BE有最小值，即BC有最小值

∵AO+OE=OB+OB≥

∴OB≥

∴OB最小值为

∴BC最小值为

【练2】点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45º,则△AEF面积的最小值为________.

【答案】

【解析】解：∵正方形的边长为4

∴AB=4，∠BAD=∠ABC=90°

如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG

由旋转的性质可得△ABG≌△ADF

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF

∵∠EAF=45º

∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠DAE+∠DAF=45º

∴∠EAG=∠EAF=45º

在△AEF与△AEG中，

AE=AE，∠EAG=∠EAF=45º，AF=AG

∴△AEF≌△AEG（SAS）

作△AEG的外接圆⊙O，连接OA、OG、OE，过点O作OH⊥EG与点H

设OA=OE=OG=r

∵∠EAG=45º

∴∠EOG=90º

∴△OEG是等腰直角三角形

∴OH=GH=

∵AO+OH≥AB

∴

∴

∵

∴的最小值=