2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知直线与直线平行，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出的值.【详解】因为直线与直线平行，所以，求得，故选：B.2．下列关于空间向量的命题中，错误的是（       ）A．若非零向量，，满足，，则有B．任意向量，，满足C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面D．已知向量，，若，则为锐角【答案】B【分析】根据共线向量的性质、共面向量的结论、空间向量夹角的计算公式逐一判断即可.【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；C：，，是空间的一组基底，且所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；D：，当时，，若向量，同向，则有，所以有，则（舍去）所以向量，不能同向，因此为锐角，故本选项说法正确，故选：B.3．直线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果即可.【详解】设直线的倾斜角为，则直线的斜率为，即，∵，∴.故选：.4．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合空间向量的加法法则直接求解即可.【详解】连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以，故选：B5．直线的一个方向向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量.【详解】直线的一个法向量为，设直线一个方向向量为，则有，故只有D满足条件.故选：D.6．已知平行六面体的各棱长均为，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析得出，利用空间向量数量积可求得的值.【详解】由已知可得，，，所以，，所以.故选：A.7．已知直线与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得直线，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得，设出直线方程，代入点A即可求出.【详解】解析：易知，根据题意，，可设直线的方程为，把点A的坐标代入得，所以直线的方程为.故选：C.8．已知点在直线上，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由点在直线上，可知，利用基本不等式和“1”的妙用即可求出.【详解】由点在直线上，可知，，当且仅当,即，时等号成立.故选：.9．已知直线：，直线：与直线平行，则直线与之间的距离为（    ）A． B．2 C．5 D．4【答案】C【分析】先求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式直接求解.【详解】因为直线：与直线：平行，所以，解得：a=2.所以直线：，所以直线与之间的距离为：.故选：C10．在直三棱柱中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详解】分别取的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,，则,，因此，因为异面直线成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：C.11．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．【详解】不妨设向量，，；则向量，，．设，即，∴解得即在，，下的坐标为．故选：C．【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．12．设直线 l 的方程为 x  y sin 2  0 ，则直线 l 的倾斜角的范围是（    ）A．[0, ] B． C． D．【答案】C【分析】分和两种情况讨论，当时，；当时，结合的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围.【详解】直线l的方程为，当时直线方程为，倾斜角当时，直线方程化为，斜率，因为，所以，即，又因为，所以综上可得故选：C13．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.【详解】解：如图所示，因为，，可得平面，直线，当最短时，平面，且，所以为的中心，为的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为1，所以，，所以，因为平面，所以，所以中，，所以故选：A 二、填空题14．设，向量，，，且，，则__________.【答案】3【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.【详解】因为，，，且，，所以，，可得，，所以，，，所以.故答案为：.15．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．【答案】或【分析】画出图像，数形结合解决起来好理解.【详解】如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交，设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为,则符合要求的直线的倾斜角范围为，,由题意知直线的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率的关系， 满足条件的直线的斜率的取值范围为或故答案为：或16．已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为______．【答案】【分析】求出向量的坐标，再由点到面的距离公式即可求解.【详解】因为，，所以，所以点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，故答案为：.17．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________.【答案】【分析】根据材料先求出三个平面的法向量，再根据交线的方向向量与平面和的法向量垂直求出直线的方向向量，在带图直线与平面夹角的正弦公式求值即可．【详解】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量可取．同理平面的法向量可取，的法向量可取，设平面与的交线的方向向量为，则，令，则，，所以．则直线与平面所成角的正弦值为．故答案为：． 三、解答题18．已知点，，，向量.(1)若，求实数的值；(2)求向量在向量上上的投影向量.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由计算可得；（2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得．【详解】(1)，，即，得；(2)，，向量在上的投影为，与同向单位向量为，则向量在向量上上的投影向量为.19．已知直线，直线，直线．(1)若与的倾斜角互补，求m的值；(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．【答案】(1)(2)0，，. 【分析】（1）根据题意得，进而求解得答案；（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案.【详解】(1)解：因为与的倾斜角互补，所以， 直线变形为，故所以，解得(2)解：由题意，若和垂直可得：，解得，因为当时，，，，构不成三角形，当时，经验证符合题意； 故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；故m的值为：0，，.20．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.(1)试用、、表示；(2)求的长度.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据给定条件结合空间向量的线性运算计算作答.(2)用、、表示出，借助空间向量数量积运算计算作答.【详解】(1)平行六面体中，，，，因，于是得：，所以.(2)平行六面体中，，，，因，且底面是正方形，，，则有，，同理，，因此，，所以的长度是.21．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求点到直线的距离.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标；（2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解.【详解】(1)设，则，∴，解得，∴；(2)∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即，所以点到直线的距离为.22．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA= AB =2，AD=3，BC =1，E是PB的中点.(1)证明：PB⊥平面ADE；(2)求直线AP与平面AEC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质和判定推理作答.（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】(1)因AD⊥平面ABP，平面ABP，则AD⊥PB，又PA= AB =2，E是PB的中点，则有AE⊥PB，而，平面ADE，所以PB⊥平面ADE.(2)因AD⊥平面ABP，∠PAB=90°，则直线两两垂直，以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，，令平面AEC的一个法向量为，则，令，得，令直线AP与平面AEC所成角的大小为，则，所以直线AP与平面AEC所成角的正弦值是.23．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，.(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的大小.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解.【详解】(1)由题意，平面，，，以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设平面PBC的一个法向量为=(x，y，z)，=(1，0，-1)， =(0，1，0)， =(-1，1，0)，则，取x=1，得=(1，0，1)，∴点D到平面PBC的距离.(2)由（1）平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)，设平面PCD的一个法向量为，又， =(-1，1，0)，则，取，得，设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角，故，即.