2023届福建省南平市浦城县第三中学高三上学期期中测试数学模拟（一）试题（解析版）

这是一份2023届福建省南平市浦城县第三中学高三上学期期中测试数学模拟（一）试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届福建省南平市浦城县第三中学高三上学期期中测试数学模拟（一）试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式得集合，直接根据交集运算即可.【详解】解：解不等式得或，则或，又所以.故选：C.2．“为纯虚数”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为为纯虚数，所以有，因此“为纯虚数”是“”的充分不必要条件，故选：A3．已知函数的部分图象如图所示，则下列可能是的解析式的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】AB选项，利用函数的单调性和特殊值判断；CD选项，利用函数的奇偶性判断.【详解】A. ，故错误；B.因为，且，则在R上递增，故正确； C.的定义域为关于原点对称，又 ，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；D. 的定义域为关于原点对称，又 ，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；故选：B4．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，，，则C．若，，，则 D．若，，则【答案】C【分析】以长方体为例，特例说明，判断正误.【详解】如图，平面平面，平面，但平面，A错误；分别是的中点，则平面，平面，平面，平面，显然平面与平面不平行，B项错误；平面平面，平面，而平面，D项错误；对于C项，，，则或.又，则.故选：C.5．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的变换，结合二倍角公式，化简求值.【详解】 .故选：A6．如图所示，已知圆O的半径为5，，圆O上有一点B满足，点C为圆O上任意一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得的坐标，从而得到的坐标，结合向量的坐标运算即可得到结果.【详解】根据题意可得,，则设，其中，则所以，且所以故选:A.7．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义可得，，当三点共线时，取值最大或最小.【详解】根据椭圆的定义可得，，则，因为，则当三点共线时，取值最大或最小.由已知得，，，，，.图1如图1，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .图2如图2，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .故答案为：.8．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别为正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知连接正八面体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体．已知该柏拉图体的体积为1，则生成它的正八面体的棱长为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】明确正八面体的结构特征，作出其示意图，确定连接其各面中心构成的几何体为正方体，根据正方体的棱长，求得正方形的对角线长，即可求得答案.【详解】如图，正八面体由两个正四棱锥组成，正八面体所有棱长都相等，四边形为正方形，设分别为的中点，分别为正八面体的各个面的中心（如图），则由题意知为正方体，连接,则分别在上，则,故,由题意知正方体的体积为1，则其棱长,故,又分别为的中点，则,故,即正八面体的棱长为，故选：B.9．已知双曲线，点F为其上焦点，过点F作一条与双曲线的渐近线相垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，其中点M为垂足，点M在第二象限，且点N在第一象限，若满足（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】先利用点到直线的距离公式求得，然后结合图形和角平分线定理可得，然后可解.【详解】由题知，，，，所以，所以，又，所以由角平分线定理可得，所以由勾股定理可得，即，即所以.故选：B10．已知实数，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式变形为，利用均值不等式可得，进一步根据分式性质讨论最值即可.【详解】由题意得，，当且仅当等号成立，又，此时，.故选：D11．已知，，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，再根据，即可求出m，n与零比较的大小关系.【详解】已知，故同理可证，，即，，即，综上所述，，故选：D.12．已知函数,,若存在,使得成立,则n的最大值为（    ）（注:为自然对数的底数）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据式子的形式构造函数,求导判断单调性,求出的值域,要使原式成立,即成立,根据的值域,则有,即可得到关于的不等式,解出即可,由即可得出n的最大值,选出结果即可.【详解】解:由题知构造,,时,单调递减,时,单调递增,即,则原式可化为:,即:,,,,故有:,,的最大值为5.故选:B 二、填空题13．已知函数，若，则x的范围是_______．【答案】【分析】分类讨论，化简，结合范围解不等式即可得答案.【详解】①当时，=.因时，，则.②当时，=.⑴当时，.则.⑵当时，.则综上所述，.故答案为：14．从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________．【答案】##【分析】根据题意，确定随机变量X的可能取值，再求出每个变量对应的概率即可求解.【详解】由题意可知：X的可能取值为，，， ，所以，故答案为：.15．已知多项式，则______．【答案】【分析】利用换元法，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】令，所以由，可得，即，二项式的通项公式为，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二项式的通项公式是解题的关键.16．已知平面向量，，，，满足，，，若，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据已知得到与终点的轨迹，设出利用圆的相关知识即可求得的范围.【详解】由已知，，，设不妨设，，可得 又因为，故 所以，即 所以，易知，终点在以为圆心，为半径的圆上.终点在以为圆心，为半径的圆上.的取值范围为与终点距离的取值范围故故答案为： 三、解答题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)1 【分析】（1）首先根据正弦定理，角化为边，再结合余弦定理，求角；（2）根据（1）可知，代入后，利用三角恒等变形，化简后根据自变量的范围，求函数的最大值.【详解】（1）由正弦定理得解得又，∴（2）∴∵，∴故当时，即时，取最大值1即的最大值为118．如图所示，多面体ABCDEF中，，平面ADEF⊥平面BCEF，AD⊥EC，且，，．(1)证明：FB⊥DE；(2)若，求直线DC与平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证FB⊥DE，只要证：BF⊥平面ADEF，只要证BF⊥EF，可先证四边形EFBC为平行四边形即可.(2)先利用线面垂直证得FD，FE，FB两两垂直，以F为原点建系，用空间向量求线面角正弦值.【详解】（1）证明：∵且，所以四边形EFBC为平行四边形，∴BFEC，又ADEF，AD⊥EC，∴BF⊥EF又平面ADEF⊥平面BCEF，且平面平面∴BF⊥平面ADEF，又DE平面ADEF，∴FB⊥DE（2）连接BD，FD，，，在三角形BCD中，由余弦定理得 ∴又，∴BC⊥BD∵BC⊥BF，且，平面BFD，平面BFD∴BC⊥平面BFD∵EFBC，∴EF⊥平面BFD∵DF平面BFD，BF平面BFD∴EF⊥DF，EF⊥BF∵BF⊥平面ADEF，且平面ADEF∴FD⊥FB，故FD，FE，FB两两垂直如图建系，，，，，，设平面ABF的法向量为平面由得则，取，设直线DC与平面ABF所成角 ∴.故直线DC与平面ABF所成角的正弦值为19．已知数列的前n项和满足．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合，可证明是等比数列，求解即可；（2）乘公比错位相减法求和可得，代入，化简可得恒成立，结合单调性求解即可.【详解】（1）∵，当可得，，∴，即是以1为首项，的等比数列，∴.（2）∵,∴,,两式相减：,∴,∴,∴,即存在使成立,∵随着n增大，在减小,∴当时，.20．如图所示，已知抛物线：，椭圆：，过y轴正半轴上点A作斜率为的直线l交抛物线于B，C两点，交椭圆于E，F两点．(1)当点A为抛物线的焦点时，．求抛物线的方程；(2)若B，C两点关于y轴的对称点为，，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，，根据题意表示出抛物线方程和直线方程，联立得到根与系数的关系，根据弦长公式计算得到答案.（2）联立方程得到根与系数的关系，计算，计算点，到直线EF的距离得到，得到面积解析式，构造函数，求导得到函数的单调区间，计算最大值得到答案.【详解】（1）设，，当点A为抛物线焦点时，，l：，与抛物线联立，整理得，，，，，即抛物线的方程为.（2）设l：，与椭圆联立，整理得，直线与椭圆有两个交点E，F，，，又，故，设，，有，，B，C两点关于y轴对称点为，，即，设，分别为点，到直线EF的距离，则将l与抛物线联立，整理得，两根为，，，，四边形的面积，令，令，得到，即在上单调递增，在上单调递减，，，即四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了圆锥曲线和导数的综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用根与系数的关系解题是常考的知识点，需要熟练掌握，利用导数求最值是解题的关键.21．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先求导，结合导数的几何意义和点斜式可求在处的切线方程；（2）用两步放缩法，结合导数先证，再证，组合后即可证明当时，．【详解】（1）∵，∴，当时，，∴切点为，∴在处的切线方程为；（2）先证：，令，，∵，∴，即在上单调递增，∴，所以当时，成立，因为当时，，∴，再证：，令，∵，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，令，则，∴在上单调递增，∴，即，∴，∵，∴，∴，得证.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点．(1)求曲线，的普通方程；(2)，是曲线上的两点，求的值．【答案】(1)的普通方程为，的普通方程为(2) 【分析】（1）根据参数方程化为普通方程，结合同角三角函数的平方公式，根据圆中弦的性质，可得答案；（2）根据参数方程的等量关系，代入曲线的方程，表示出，整理等式，可得答案.【详解】（1）的参数方程为，则，，∴的普通方程为，由射线与曲线交于点，则，设圆的半径为，则，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，圆心为在直角坐标系下的坐标为，∴的普通方程为.（2）曲线的极坐标方程为，∴，∴，∴，∴.23．已知a和b是任意非零实数．(1)求的最小值；(2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围．【答案】(1)5(2) 【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求解即可；（2）首先利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后分类讨论求解即可.【详解】（1）∵，，∴，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5；（2）由题知：恒成立，先求的最小值∵∴，∴当时，，∴，∴当时，，∴，∴当时，，∴，∴综上，实数x的取值范围是