2022-2023学年湖北省黄石市大冶市九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年湖北省黄石市大冶市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 用配方法解一元二次方程，下列变形中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

4. 如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 对于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，有最大值
C. 图象的顶点坐标为 D. 图象与轴有两个交点

7. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点、点、点均在上，是直径且，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数、、为常数，且图象的对称轴为直线，其图象如图所示．则下列结论：；；若为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，，则其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11. 方程的根是______．
12. 点关于原点对称的点的坐标为______．
13. 如果、是一元二次方程的两个实数根，则______．
14. 如图，是的直径，弦，垂足为，如果，，那么线段的长为______ ．

15. 若抛物线与坐标轴有个公共点，则的值是______ ．
16. 半径为的中，弦，弦所对的圆周角的度数为______．
17. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是：______________ ．
18. 如图，中，，点是内一点，，，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，在和中，，，，且点在线段上，连．
    求证：≌；
    若，求的度数．

21. 本小题分
    如图，利用函数的图象，直接回答：
    方程的解是______；
    当时，随的增大而______；
    当满足______时，函数值大于；
    当时，的取值范围是______．

22. 本小题分
    阅读材料：
    材料：若一元二次方程的两根为、，则，．
    材料：已知实数、满足，，且，求的值．
    解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料，得，．
    ．
    根据上述材料解决下面的问题：
    一元二次方程的两根为、，则，______；
    已知实数，满足，，且，求的值；
    已知实数，满足，，且，求的值．
23. 本小题分
    某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售价为元千克时，每天销售量为千克当产品的销售价每千克涨元时每天销售量会减少千克，设涨价元千克为正整数，每天销售量为千克．
    求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
    该农户想要每天获得元的销售利润，销售价为多少？
    每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24. 本小题分
    如图，中，，于，于，，相交于点，以为圆心、为半径的交于点、，已知，．
    求证：是的切线；
    求的半径；
    求弦的长．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为直线与抛物线交于，两点，其中点的坐标为．
    求抛物线和直线的解析式；
    直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点点不与点，重合，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为．
    当为何值时，四边形是平行四边形；
    设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
且，
且，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：设道路的宽为米，则绿化的部分可合成长米，宽米的矩形，
依题意得：．
故选：．
设道路的宽为米，则绿化的部分可合成长米，宽米的矩形，根据绿化的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用二次函数和一元二次方程的性质求解．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到值由负变为正时，自变量的取值即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数的图象开口向下，
且当时，有最大值．
当时，，方程无解，则抛物线与轴没有交点．
故选：．
利用二次函数的性质对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针方向旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
是直径且，
半径，
由勾股定理得：，
故选：．
连接，根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理和勾股定理，能熟记同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的倍是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，正确；
抛物线与轴有两个交点，
，正确；
由图象可得时，取最小值，
，
，正确；
图象经过点，对称轴为直线，
在函数图象上，
和是的两个解，
，
，，
，错误．
综上，是正确的，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线与轴交点个数可判断；由图象可得时函数取最小值可判断；由抛物线的对称性及抛物线经过可得方程的两个解为，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
根据点关于原点对称的点的坐标为即可得到点关于原点对称的点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点关于原点对称的点的坐标为．
 

13.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，于是原式可化简为，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理，勾股定理有关知识，连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，又由直径的长求出半径的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长．
解：如图所示，连接．
弦，为圆的直径，
为的中点，
又，
，
又，
，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
则的长度为．  

15.【答案】或 

【解析】解：当时，
抛物线和轴一定有交点，
故抛物线与坐标轴有个公共点时，则该抛物线与轴只有一个交点，
即，解得，
当时，即时，，该抛物线和坐标轴有两个公共点；
故答案为或．
当时，则，解得，当时，即时，，该抛物线和坐标轴有两个公共点，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设直径于点，连接，，，，，如图所示．
，为直径，
．
在中，，，
，
，
，
，
．
同理，可得出，，
，．
故答案为：或．
设直径于点，连接，，，，，利用垂径定理可得出，的长，在中，通过勾股定理可求出的度数，利用圆周角定理可求出的度数，由和互余可求出的度数，同理可求出，的度数，进而可得出弦所对的圆周角的度数．
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，通过解直角三角形及圆周角定理，求出的度数是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．
【解答】

解：，
对称轴为，
，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
，
，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
故，
故答案为

18.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，作交于，如图：

，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
根据两点之间线段最短可知，当，，，共线时，的值最小，最小值即为的长，
在中，，，
，，
，
，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，作交的延长线于，根据两点之间线段最短可知，当，，，共线时，的值最小，最小值即为的长，解直角三角形求出即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题．
 

19.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
，
，
或，
解得，． 

【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

20.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
． 

【解析】可利用证明结论；
由全等三角形的性质可得，利用等腰直角三角形的性质可求得，再根据三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求可求解
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
 

21.【答案】，  增大  或   

【解析】解：由图象可得，方程的解为，，
故答案为：，；
函数的对称轴为，
又，开口向上，
当时，随的增大而增大；
故答案为：增大；
由函数图象可得，当或时，函数值大于，
故答案为：或；
由得，函数对称轴为，
当时，，即最小值为，
到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
，
时，函数值最大，为，
综上：．
故答案为：．
根据函数图象，可以得到方程的解；
根据函数图象，可以写出当为何值时随的增大而增大；
根据函数图象可以写出，当为何值时，函数值大于；
根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，学会利用数形结合求解是关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根为、，
，．
故答案为：；

，满足，，
，可看作方程的两实数根，
，．
；

设，代入化简为，
则与即为方程的两实数根，
，，
．
直接根据根与系数的关系求解；
利用、满足的等式，可把、可看作方程的两实数解，则根据根与系数的关系得到，，再把分解得到，然后利用整体代入的方法计算；
先设，代入化简得到，根据与满足的等式可把与即看作为方程的两实数解，则根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，以及代数式求值．此类题型的特点是：利用根与系数的关系以及方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 

23.【答案】解：则由题意得：，
，
，
与之间的函数关系式为，且为整数；
设利润为元，
则由题意得：，
该农户想要每天获得元的销售利润，
，
解得：，舍去，
销售价为元，
农户想要每天获得元的销售利润，销售价为元；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
每千克涨价元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据当产品的销售价每千克涨元时每天销售量会减少千克，进行求解即可；
设利润为元，则由可得每天销售量为千克，每天的每千克的获利为，由此可得，再把代入进行求解即可；
由得，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意找到关系式进行求解．
 

24.【答案】证明：如图，过点作于点，

，，
平分，
，，
半径，
是的切线．
解：由勾股定理可得，，，
则，
由勾股定理可得：，
由题意可得：为中线，
，
由勾股定理可得：，
由可得，
，
∽，
，
即，
解得：，即半径为．
解：连接，
由题意可得：，，
，
在中，
由勾股定理可得：，
，
在中，
由勾股定理可得：，
． 

【解析】过点作于点，利用角平分线的性质得到即可；
利用勾股定理求得，从而得到，再由勾股定理求得，则，再由勾股定理得到，由∽得到，即可求解；
连接，求得，利用勾股定理得到，即可求解．
此题考查了圆的综合应用，掌握圆的切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将、点、点代入抛物线解析式可得，解得，即抛物线为．
设直线的解析式为，
将点、点代入得解得，即直线的解析式为．
综上：，．
解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，
则，所以，
点，，点．
连接，如图：

四边形是平行四边形，
，即，
化简可得：，解得，舍去，
即，四边形是平行四边形；
连接、，如图：

由题意可得：，
，
，开口向下，对称轴为，
当时，面积最大，为． 

【解析】利用待定系数法求解析式即可；
根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；由题意可得，利用二次函数的性质求解即可．
此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．