2023届山东省泰安市高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届山东省泰安市高三上学期期中数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山东省泰安市高三上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】只要求出集合B中哪些元素属于A即可.【详解】在集合B中，显然 ， ；故选：B.2．已知命题，则是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.【详解】解：由题意得：全称量词命题的否定是存在性量词命题：故，则故选：C3．“”是“”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解.【详解】若，则当时，有，即推不出，若，则当时，有，即也推不出，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.【详解】对于A，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；对于B，函数定义域是R，是奇函数，当时，在上单调递增，当时，在上也单调递增，即函数在其定义域R上单调递增，B正确；对于C，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，C不正确；对于D，函数定义域是，它是奇函数，在和上单调递增，但在其定义域上不单调，D不正确.故选：B5．已知等差数列的前项和为，若，则满足的的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，，所以，，因为，所以，故选：B6．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断，【详解】由题意得，则是偶函数，故B，C错误，，故D错误，故选：A7．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（    ）A．5周 B．6周C．7周 D．8周【答案】B【分析】由相除可得，然后解不等式，由指数函数性质估计出，从而可得的范围，由此可得结论.【详解】由题意可知，，，，解得.设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，则，整理得，设，因为，所以，即，则，即.故至少需要放置的时间为6周.故选：B.8．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意即可容易比较大小.【详解】由题可得：，令，则，当时，，又，则，即，故在单调递增，，则当时，，即，；令，则，当时，，又，则，即，故在单调递减，，故当时，，即，；综上所述，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小；处理问题的关键是能够结合已知数据，构造合理的函数，从而利用导数判断其单调性，再根据单调性比较大小，属综合困难题. 二、多选题9．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（    ）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】ACD【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.【详解】因为，所以有，因此选项A正确；因为，所以，因为常数，所以数列不是等比数列，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；，因为当时，，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.10．已知函数的图象如图所示，则（    ）A．点为函数图象的一个对称中心B．函数在上单调递减C．函数的图象与轴的交点为D．若函数为偶函数，则【答案】AC【分析】根据图像求出函数解析式，在运用整体代入法逐项分析即可求解.【详解】由图像可知，函数 的周期 ， ， ， ， ；对于A， ，正确；对于B，当 ，其中 ，错误；对于C，令 ， ，正确；对于D，  是偶函数，则有 ，错误；故选：AC.11．下列说法正确的是（    ）A．若，则一定有B．若关于的不等式的解集为，则C．若，则的最小值为4D．若，且，则的最小值为0【答案】ACD【分析】对A：利用不等式的性质即可判断；对B：根据二次不等式和二次方程之间的关系，结合韦达定理即可判断；对C：利用基本不等式进行求解，即可判断；对D：利用消元法，结合函数单调性即可求得结果.【详解】对A：因为，则，，又，故，则，故A正确；对B：由题可知，是方程的两根，故，解得，则，故B错误；对C：因为，则，即，解得，当且仅当时取得等号；故的最小值为4，C正确；对D：，且，则，因为，故，即，又都是上的单调减函数，故也是上的单调减函数，又时，，故，即的最小值为，D正确.故选：ACD.12．已知.（    ）A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3C．x轴为曲线的切线 D．若，则【答案】BC【分析】首先根据得到，分别画出和的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】，令，得到.分别画出和的图像，如图所示：由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.所以，，为增函数，，，为减函数，，，为增函数，，，为减函数.所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，当时，取得极大值为，所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.因为函数的极大值为，所以轴为曲线的切线，故C正确.因为在为增函数，为减函数，所以存在，满足，且，显然，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题. 三、填空题13．已知角的终边过点，则___________.【答案】2【分析】根据题意求得，结合倍角公式，即可求得结果.【详解】根据题意，，，则；，则.故答案为：.14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到100这100个数中，能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列各项的和为___________.【答案】833【分析】求出除以2余1和除以3余1的数列，再求重叠部分，再求和即可.【详解】除以2余1的数列的通项公式 ，并且 ， ；除以3余1的数列的通项公式为 ， ， ；令 ，则有 ，即m为偶数时为两数列重叠部分， ，对应的数列为 ，是首项为1，公差为6的等差数列， ；故答案为：833.15．已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，则___________.【答案】【分析】根据函数的对称性求出当 时的解析式，再根据周期性即可求出 .【详解】由于 是偶函数，∴当 时， ；由 得 ，关于 点对称，当 时， ， ，并且函数的周期 ， ， ， ，∴ ；故答案为： .16．已知函数 ，若且 ，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据函数的性质，分别求出 和 时的值域，判断出 的取值范围即可求解.【详解】对于 ，当 时， ，当 时， ，并且图像关于 对称，函数图像如下图：如果 ，则 不成立， ， ，并且有 ；由 可知，必有 ； ；故答案为：  . 四、解答题17．已知集合.(1)若，求的取值范围；(2)若，求.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据一元二次不等式在上恒成立，列出关于的不等式，求解即可；（2）解含参一元二次不等式求得集合，再根据集合的交运算求解即可.【详解】（1）∵，∴恒成立，∴，解得，∴当时，a的取值范围是.（2）∵，∴，∴方程的两根分别为，，∴| 或，又∵，且，∴或.18．在△中，内角的对边分别为，且满足.(1)求；(2)已知为边上一点，平分，△的面积是△的面积的2倍，若，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果；（2）根据（1）中所求，结合长度，求得，再在△中利用余弦定理求得，再结合，由勾股定理求得即可.【详解】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，（2）∵AD平分，，∴，∵的面积是的面积的2倍，设△底边BC上的高为h，则，∴，，又∵，∴，在△中，，解得，∴，∴，∴，∴.19．已知函数为奇函数，且.(1)若：，求；(2)将函数的图使上各点的横坐标变为原来为2倍（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据是奇函数，且，求得，以及的解析式；再结合同角三角函数关系，以及正弦的和角公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，结合函数图象的变换求得，再利用整体法求其值域即可.【详解】（1），∵函数为奇函数，∴恒成立，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，∴.（2）由题意得，将函数的图使上各点的横坐标变为原来为2倍（纵坐标不变），得到的图象，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，∵，∴，∴，，∴函数在上的值域为.20．已知数列的前项和为.(1)求；(2)设的前项和为，求证：【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据条件写出 的递推公式，求出 的通项公式；（2）运用缩放法证明即可.【详解】（1）∵，∴，∴，又∵，，∴，，∴，，，∴数列的奇数项，偶数项分别是以，为首项，3为公比的等比数列.∴当n为奇数时，，即，当n为偶数时，，即， ；（2）由（1）知，，∴，∵，∴，∴；得证.21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）；公交群体的人均通勤时间为（单位：分钟）.已知当时，公交群体的人均通勤时间比自驾群体的人均通勤时间长1分钟.(1)求的值；(2)求该地上班族的最短人均通勤时间.【答案】(1)(2)分钟 【分析】（1）根据条件计算即可；（2）求平均通勤时间函数解析式，根据函数的性质求解即可.【详解】（1）由题知，，∴；（2）由（1）知， ，设该地上班族S的人均通勤时间为，则当时，，当时，， ，∵抛物线的开口向上，对称轴为，∴当时，，∵抛物线的开口向上，对称轴为，∴当时，，∵，∴该地上班族S的最短人均通勤时间为分钟.综上， ，最短人均通勤时间为分钟.22．已知函数 .(1)求函数的极值；(2)若1是关于的方程的根，且方程在上有实根，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求导，对a的符号分类讨论，根据导函数求得极值；（2）根据条件，构造函数 ，对 的性质讨论，根据 的性质确定b的范围.【详解】（1） ，当时， ，单调递增，无极值，当时，令 ，解得，当时， ，单调递减，当时， ，单调递增，∴ ，无极大值；（2）∵1是方程的根，∴，解得 ，∴ ，设 ，则 ，设 ，则 ，∵，，且方程在上有实根，设，，则在，上不单调，∴ 在上存在零点，在上存在零点，∴在上至少有两个相异实根，当时， ，单调递增，不合题意，当时，令 ，解得，当时， ，单调递减.当时， ，单调递增，∴ ，设 ，则 ，令 ，解得 ，当 时， ，单调递增，当 时， ，单调递淢，∴ ，∴，∴ ，∴ ，即 ，解得 ，∴b的取值范围为 ；综上，，无极大值；b的取值范围为.【点睛】对于第二问，得出在上至少有两个相异实根是问题的核心，由此讨论 的最小值以及 至少有两个相异实根的充分条件而得出b的取值范围.