【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第二册——专题06 导数的概念、计算与几何意义（专题过关）

专题06   导数的概念、计算与几何意义（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·广西河池·高二阶段练习（理））在导数定义中“当时，”，（   ）

A．恒取正值 B．恒取正值或恒去取负值

C．有时可取 D．可取正值可取负值，但不能取零

【答案】D

【分析】

根据题意，由导数的定义分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，当时，，

的值可取正值和负数，但不能取0；
故选：D．

2．（2021·江苏·高二课时练习）一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（    ）

A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3

【答案】B

【分析】

由平均速度的定义求解即可

【详解】

，

故选：B

3．（2021·江苏·高二专题练习）函数在区间上的平均变化率等于（    ）．

A．4 B． C． D．

【答案】B

【分析】

由给定条件求出函数增量，再根据平均变化率的意义列式化简即得.

【详解】

因函数，则在区间上的函数增量有：

，于是有，

所以所求平均变化率等于.

故选：B

4．（2021·福建省漳州第一中学高二阶段练习）设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】D

【分析】

由导数的定义及导数的几何意义即可求解.

【详解】

解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为，

因为时，，

所以，

所以在点处的切线斜率为，

故选：D.

5．（2021·全国·高三阶段练习（理））已知函数的导函数为，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据导数的定义，即可求解.

【详解】

解:，

解得

故选：D

6．（2021·河南·义马市高级中学高三阶段练习（理））函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由导数的几何意义，可得切线的斜率为，又，从而利用点斜式即可写出切线方程.

【详解】

解：因为，所以切线的斜率为，

又，

所以函数的图象在点处的切线方程为，即.

故选：C.

7．（2021·陕西渭南·高三阶段练习（理））函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先求出和切线的斜率为，再利用直线的点斜式方程得解.

【详解】

因为，所以，

所以，，所以切线的斜率为，

所求切线方程为，即.

故选：A

8．（2021·河北衡水中学高三阶段练习）设直线分别是函数的图象上点处的切线，与垂直且相交于点，且分别与轴相交于点，则面积的取值范围是（    ）

A．(0,11) B．(0,2)

C．(0,1) D．(1,+∞)

【答案】C

【分析】

设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线与的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得，两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用对勾函数单调性求得的面积的取值范围．

【详解】

设，，，，

当时，，当时，，

的斜率，的斜率，

与垂直，，

如图，

，即．

直线，．

取分别得到，，

．

联立两直线方程可得交点的横坐标为，

．

函数在上为减函数，且，

，则，

．

的面积的取值范围是．

故选：．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．叫作函数值的增量

B．叫作函数在上的平均变化率

C．在处的导数记为

D．在处的导数记为

【答案】ABD

【分析】

由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.

【详解】

A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；

B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；

由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.

故选：ABD

10．（2021·江苏·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）

A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度

C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

【答案】CD

【分析】

由平均速度与瞬时速度的定义求解即可

【详解】

在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．

瞬时速度为切线斜率，故B错误．

在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，

因为，，所以，故C正确．同理D正确．

故选：CD

11．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】

根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.

【详解】

由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；

记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，

即.

故选：AB

12．（2021·江苏·高二专题练习）(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（    ）

A．与x0有关 B．与h有关

C．与x0无关 D．与h无关

【答案】AD

【分析】

由导数的定义进行判定.

【详解】

由导数的定义，得：，

即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.

故选:AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）已知，则___________.

【答案】-8

【分析】

根据导函数的定义可得答案.

【详解】

解：令，

因为.

所以，

故答案为：.

14．（2021·宁夏·平罗中学高三期中（文））曲线在处的切线的斜率为__________．

【答案】

【分析】

求出导函数后可得切线斜率．

【详解】

由已知，时，，

故答案为：．

15．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知曲线，则曲线在点处的切线方程为________.

【答案】##

【分析】

求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论．

【详解】

因为函数的导数为，

则函数在处的切线的斜率，

故切线方程为，整理得

故答案为：

16．（2021·广东·广州市真光中学高三阶段练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.

【答案】

【分析】

根据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可.

【详解】

由，，所以在处的切线方程为：，令，

可得：，所以在处的切线方程为：，令，

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·全国·高二课时练习）已知，利用，求的近似值.

【答案】1.06

【分析】

将代入中计算即可得到答案.

【详解】

由，

可知.

18．（2021·全国·高二课时练习）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）．

（1）求此物体的初速度；

（2）求此物体在时的瞬时速度；

（3）求到时的平均速度．

【答案】

（1）3m/s

（2）

（3）1m/s

【分析】

（1）根据题意，可知初速度即时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解；

（2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；

（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.

（1）

运动物体的初速度即时的瞬时速度，即 ，即物体的初速度为3m/s．

（2）

根据题意，可知 ，即此物体在时的瞬时速度为．

（3）

，即到时的平均速度为1m/s．

19．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】

（1）

（2）

（3）

【分析】

（1）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；

（2）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；

（3）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.

（1）

函数可以看作函数和的复合函数，

由复合函数的求导法则可得.

（2）

函数可以看作函数和的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

.

（3）

函数可以看作函数和的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

.

20．（2021·广西河池·高二阶段练习（理））已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数过点处的切线方程.

【答案】

（1）

（2）或

【分析】

（1）求导，求出切线斜率即可

（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程

（1）

由已知，

则，

故切线方程为，即

（2）

设切点为，

则

切线方程为，

代入点可得，解得或

又，

故切线方程为或

即切线方程为或

21．（2021·江西·模拟预测（文））设函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若方程在区间 上有两个解，求实数的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；

（2）把问题转化为与在 上有两个不同交点，作出图象，求出在处切线的斜率，再求出过点与的直线的斜率，则答案可求．

（1）

（1）由，得，

∴，又，

∴函数在点处的切线方程，

即；

（2）

（2）方程在区间 上有两个解，

即在 上有两解，也就是为与在 上有两个不同交点．

如图：       

，把代入，得，此时．

∴若方程在区间 上有两个解，则实数m的取值范围是．

22．（2021·山西·长治市第八中学高三阶段练习（理））已知函数．

（1）证明：曲线在点处的切线l恒过定点；

（2）若存在使得，求k的取值范围．

【答案】

（1）证明见解析

（2）

【分析】

（1）利用的导数求出在点，的斜率，再求出其切线方程，最后证明过定点；

（2）构造函数，讨论的范围，结合切线放缩及三角放缩得到的取值．

（1）

证明：由得，则，故切线l为，即，恒过定点．

（2）

即，设，

令，则时，时，，

所以，即，故当时，不成立；

当时，对于，，，

单调递增，，故存在唯一．使得，

时，，符合题意；

当时，对于有，则对任意的，都有成立．

综上，k的取值范围是．