2022-2023学年九年级数学上学期期末考点大串讲专题07 统计和概率的简单应用（21个考点）

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专题07 统计和概率的简单应用（21个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．调查收集数据的过程与方法
（1）在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况．
（2）统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图．
（3）设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．
（4）统计调查的一般过程：
①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；
②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；
③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
二．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
三．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
四．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
五．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
六．频数与频率
（1）频数是指每个对象出现的次数．
（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数
一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
七．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
　　（3）将数据分组．
　　（4）列频率分布表．
八．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
　　注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
九．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
十．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
十一．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
十二．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
十三．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
十四．统计图的选择
统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
（1）扇形统计图的特点：
①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．
（2）条形统计图的特点：
①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．
（3）折线统计图的特点：
①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．不恰当的图不仅难以达到期望的效果，有时还会给人们以误导．因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图．
十五．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
十六．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
十七．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
十八．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
十九．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
二十．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
二十一．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
二十二．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
二十三．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【专题过关】
一．调查收集数据的过程与方法（共2小题）
1．（2021•扬州模拟）中考结束后，小明想了解今年扬州各普高的录取分数线，他需要通过什么方法获得这些数据？（　　）
A．测量 B．直接观察
C．调查 D．查阅文献资料、互联网
2．（2021•沭阳县模拟）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（　　）
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
二．全面调查与抽样调查（共5小题）
3．（2022春•如皋市校级月考）下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
4．（2022春•相城区校级期末）下列调查方式中适合的是（　　）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
5．（2022•南通）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是 　 　（填“全面调查”或“抽样调查”）．
6．（2022•广陵区二模）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　）
A．调查某班学生的体重情况
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查冬奥会高山滑雪运动员兴奋剂的使用情况
D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量
7．（2022•常州二模）下列调查适合做普查的是（　　）
A．了解全球人类男女比例情况
B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．调查20～25岁年轻人最崇拜的偶像
D．对同一车厢的新冠密接者进行核酸检测
三．总体、个体、样本、样本容量（共4小题）
8．（2022•泰兴市一模）新冠病毒的核酸检测方式主要分单采和混采两种．
单采：将一个受试者的采集拭子放到一个试管中作为样本检测．
混采：将10个受试者的采集拭子放到一个试管中作为样本检测，检测结果为阴性时，参加混检的10个受试者都是安全的；检测结果为阳性时，会立即对该混采试管的10个受试者重新进行单采复检，进而确定谁是阳性．
单采与混采的人均检测费用比为7：2，分别用1120元进行混采和单采，混采可比单采多检测100人．
（1）求单采与混采的人均检测费用分别为多少元？
（2）某小区对300名居民用混采的方式进行核酸检测，发现有阳性病例，立即组织单采复检，初检和复检总费用不足2960元，求参加复检的人数．
9．（2022•姜堰区二模）为了解某校七年级1000名学生学习中国海军史的情况，学校组织了中国海军史知识测试，并从中随机抽取了200名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．1000名学生是总体
B．200名是样本容量
C．被抽取的200名学生是总体的一个样本
D．该校七年级每名学生的中国海军史知识测试的成绩是个体
10．（2022秋•亭湖区期中）学校为了解我校八年级同学的视力情况，从八年级的15个班共709名学生中，抽取了75名进行分析．在这个问题中，样本容量是 　 　．
11．（2022春•大丰区校级月考）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机抽取了400个家长进行调查，结果有360个家长持反对态度．则这次调查的样本容量是　 　．
四．抽样调查的可靠性（共1小题）
12．（2022•工业园区模拟）为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取方法最合适的是（　　）
A．随机抽取一个班级的学生
B．随机抽取一个年级的学生
C．随机抽取一部分男生
D．在全校每个班级中随机抽取10%的学生
五．用样本估计总体（共4小题）
13．（2022•秦淮区二模）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了1000名初中学生进行调查．整理样本数据，得到如表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
204
196
160
186
254
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 　 　．
14．（2022•建邺区一模）为了解某校“双减”政策落实情况，一调查机构从该校随机抽取100名学生，了解他们每天完成作业的时间，得到的数据如图（A：不超过30分钟；B：大于30不超过60分钟；C：大于60不超过90分钟；D：大于90分钟），则该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有 　 　人．

15．（2022春•宝应县校级月考）小江为了估计某山区上鸟群的数量，先捕捉40只鸟给它们分别作上标志，然后放回，第二次捕捉120只鸟，发现其中4只有标志，那么该山区上鸟群约有 　 　只．
16．（2022•建邺区二模）某校随机抽取80名同学进行关于“创全”的调查问卷，通过调查发现其中76人对“创全”了解的比较全面，由此可以估计全校的1500名同学中，对于“创全”了解的比较全面的约有　 　人．
六．频数与频率（共4小题）
17．（2022•滨海县模拟）将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是 　 　．
18．（2022•常州二模）已知一组数据有60个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，10，6，7，第五组的频率是0.2，故第六组的频数是 　 　．
19．（2022春•泰州月考）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是 　 　．
20．（2022春•靖江市月考）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购买 　 　个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
七．频数（率）分布表（共3小题）
21．（2022•镇江）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
车速（km/h）
40
41
42
43
44
45
频数
6
8
15
a
3
2
其中车速为40、43（单位：km/h）的车辆数分别占监测车辆总数的12%、32%．
（1）求出表格中a的值；
（2）如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
22．（2022春•海门市期中）受新冠疫情的影响，某区决定所有中小学暂停线下教学，改为线上教学．该区教研室为了解线上“课堂有效提问”的现状，从全区所有线上课堂教学中随机抽取了40节课，它们的课堂有效提问的次数分别为：
4，5，5，5，12，13，14，14，1，2，
18，20，19，24，3，4，4，6，10，10，
10，10，11，14，6，7，7，8；15，16，
8，8，9，9，10，10，10，9，14，14，
（1）根据上述数据完成下表：
次数x
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x＜20
20≤x＜25
节数
6
　 　
15
　 　
2
（2）估计全区课堂有效提问的次数在10≤x＜20范围的节数占总节数的百分之几？
（3）若教研室对线上“课堂有效提问”的次数作出规定，你认为规定次数定为多少时比较合理？并说明理由．
23．（2022•江阴市校级模拟）某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2013年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别
A
B
C
D
频数
30
40
24
b
频率
a
0.4
0.24
0.06
（1）表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？

八．频数（率）分布直方图（共3小题）
24．（2022•镇江）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 　 　kg．

25．（2022•宿豫区二模）某中学为了促进学生对新冠肺炎防控知识的掌握，随机抽取了部分学生进行疫情防控知识竞赛，对优秀学生给予表扬，竞赛成绩（满分100分）分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如下不完整的统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题．
（1）本次抽样调查的学生有 　 　人；
（2）补全频数分布直方图；B组对应扇形的圆心角的度数为 　 　；
（3）该学校共有3000名学生，若规定竞赛成绩80≤x＜90为良好，x≥90为优秀．估算全校学生对新冠肺炎防控知识掌握达到良好和优秀的总人数．
26．（2022•东台市模拟）学校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作了两幅如图的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 　 　名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形E应的圆心角为 　 　度；
（4）若全校有1800名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2小时的学生有多少人？
九．频数（率）分布折线图（共1小题）
27．（2022•吴中区模拟）如图所示，苏州市2021年5月1～10日最高温度的折线统计图，由此图可知这10天中，出现最高气温为26℃的天数频率是 　 　．

一十．统计表（共1小题）
28．（2022•鼓楼区二模）有人得了某种疾病，想到甲医院或乙医院就诊，他了解到甲、乙两家医院短期内治愈患该疾病的病人的情况如表：

重症病人比例
重症治愈率
轻症病人比例
轻症治愈率
总治愈率
甲医院
20%
10%
80%
80%
a%
乙医院
80%
b%
20%
95%
59%
（1）a的值为 　 　，b的值为 　 　；
（2）结合上表说明“从不同角度看数据可能会得到不同的结论”．
一十一．扇形统计图（共2小题）
29．（2022•苏州）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（　　）

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
30．（2022•连云港）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目
人数
A乒乓球
m
B排球
10
C篮球
80
D跳绳
70
（1）本次调查的样本容量是 　 　，统计表中m＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是 　 　°；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．

一十二．条形统计图（共3小题）
31．（2022春•睢宁县月考）如图是第七次全国人口普查的部分结果．下列判断正确的是（　　）

A．江苏0﹣14岁人口比重高于全国
B．徐州15﹣59岁人口比重高于江苏
C．江苏60岁以上人口比重低于徐州
D．徐州15岁以上人口比重低于江苏
32．（2022•淮安）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．

请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 　 　名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 　 　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
33．（2022•昆山市校级一模）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“A优秀：90≤x≤100；B良好：89≤x≤75；C合格74≤x≤60；D不合格：x＜60”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 　 　名学生；
（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为：　 　．
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
一十三．折线统计图（共2小题）
34．（2022•徐州）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．

已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（　　）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
35．（2022•鼓楼区校级二模）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 　 　；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．

一十四．统计图的选择（共1小题）
36．（2021•苏州二模）近年来，我国城乡居民的收入有了大幅提高，为了了解我国城乡居民收入10年来的变化趋势，适合采用的统计图是 　 　．（填“扇形统计图”或“折线统计图”）
一十五．随机事件（共2小题）
37．（2022•江都区一模）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．2023年的2月有29天
B．对顶角相等
C．明天太阳从西方升起
D．打开电视机，正在播放广告
38．（2022•泗阳县一模）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是　 　．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
一十六．可能性的大小（共2小题）
39．（2022•泗阳县一模）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（　　）
A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下
40．（2022•镇江模拟）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：
A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？
一十七．概率公式（共5小题）
41．（2022春•江阴市校级月考）在﹣1，0，，，π中任取一个数，取到无理数的概率是 　 　．
42．（2022•海陵区二模）某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下（以下数据来源于国际航空飞行安全网）：
信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图1；
信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图2；
根据以上信息，解决下列问题：
（1）根据以上信息分析可知，　 　类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强；（填写字母）
（2）近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的 　 　%；（横线上的数精确到0.01）
（3）记C类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，记E类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，则　 　；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（4）请结合图1和图2的相关信息，给某航空公司提供一条关于预防飞行事故发生的具体措施．
43．（2022•镇江二模）下列说法正确的是（　　）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为S甲2、S乙2．若，S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩没有乙的稳定
D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
44．（2022•兴化市二模）一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 　 　．
45．（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．
（1）快递包装纸盒应投入 　 　垃圾箱；
（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是 　 　；
（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．
一十八．几何概率（共2小题）
46．（2022•徐州）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
47．（2022•姜堰区二模）如图，一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是 　 　．

一十九．列表法与树状图法（共4小题）
48．（2022春•工业园区校级月考）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步：如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3……，直到棋子到达终点或超过终点停止．

（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
49．（2021秋•涟水县期末）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾，其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．
（1）写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率 　 　；
（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率（用树状图或列表解决）．
50．（2022•沭阳县模拟）如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC三边相切，已知AB＝5m，AC＝4m，BC＝3m，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率 　 　（π取3）．

51．（2022春•盱眙县期中）在一次“智慧家长”培训活动中，就“如何正确引导孩子面对校园欺凌现象”问题进行了互动交流，培训老师对参会家长发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图．
组别
发言次数n
百分比
A
0≤n＜3
10%
B
3≤n＜6
20%
C
6≤n＜9
30%
D
9≤n＜12
26%
E
12≤n＜15
6%
F
15≤n＜18
m%
请你根据所给的相关信息，解答下列问题：
（1）本次共有 　 　名家长参加培训活动，m＝　 　；
（2）补全条形统计图，观察此图，发言次数的“中位数”落在 　 　组（填字母）；
（3）已知参加培训活动的家长中，E组只有1名女家长，F组只有2名男家长，现要从E组、F组中分别选派1名家长做总结发言，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名家长恰好是1男1女的概率．

二十．游戏公平性（共5小题）
52．（2022•泰兴市一模）某社区要招募一名省运会志愿者，小红和小明都积极报名参加，社区拟采用抽签的办法决定谁是志愿者．抽签规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个签（除编号外都相同）：从中随机抽出两个签，记下数字，若两个数字之和为奇数，则小红为志愿者，若两个数字之和为偶数，则小明为志愿者．
（1）请用列表或画树状图的方法列出抽签所有可能出现的结果；
（2）这个抽签规则对双方公平吗？请说明理由．
53．（2022•建湖县一模）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4．
（1）小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 　 　；
（2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．

54．（2022•盐城一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　 　；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．

55．（2022•相城区一模）北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．

（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　 　；
（2）若冬奥会会徽邮票记作A邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B邮票，吉祥物雪容融邮票记作C邮票．小明和小亮制定游戏规则：随机从中抽取1张邮票，不放回，再抽出第2张邮票，若抽到A邮票，则小明胜；若摸到两张相同的邮票，则小亮胜：其余情况视为平局，游戏重新进行．请用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
56．（2022•苏州模拟）现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为 　 　；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
二十一．利用频率估计概率（共3小题）
57．（2022•盐城二模）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．小贤从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中黑球的个数最有可能是 　 　．

58．（2022•睢宁县模拟）一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　）
A．6 B．14 C．5 D．20
59．（2022•张家港市一模）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？





答案与解析
【专题过关】
一．调查收集数据的过程与方法（共2小题）
1．（2021•扬州模拟）中考结束后，小明想了解今年扬州各普高的录取分数线，他需要通过什么方法获得这些数据？（　　）
A．测量 B．直接观察
C．调查 D．查阅文献资料、互联网
【分析】根据考查的目的，结合实际情况综合进行判断即可．
【解答】解：考查的目的为“今年扬州各普高的录取分数线”，可以上网查阅或查阅文献资料即可，因此选项D比较符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查数据收集与整理的方法，根据考查的目的和实际的情况抽取适当的方法进行考查是解决问题的关键．
2．（2021•沭阳县模拟）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（　　）
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
【分析】直接利用调查数据的方法分析得出答案．
【解答】解：一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．
获得这组数据的方法是：调查．
故选：C．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握基本调查方法是解题关键．
二．全面调查与抽样调查（共5小题）
3．（2022春•如皋市校级月考）下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【解答】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（2022春•相城区校级期末）下列调查方式中适合的是（　　）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A、了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批节能灯全部用于实验；
B、调查你所在班级同学的身高，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式；
C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况，难度比较大，应该选取抽样调查的方式才合适；
D、调查全市中学生每天的就寝时间，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可；
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（2022•南通）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是 　抽样调查　（填“全面调查”或“抽样调查”）．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（2022•广陵区二模）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　）
A．调查某班学生的体重情况
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查冬奥会高山滑雪运动员兴奋剂的使用情况
D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、调查某班学生的体重情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，符合题意；
C、调查冬奥会高山滑雪运动员兴奋剂的使用情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
D、调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量，适宜采用全面调查，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．（2022•常州二模）下列调查适合做普查的是（　　）
A．了解全球人类男女比例情况
B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．调查20～25岁年轻人最崇拜的偶像
D．对同一车厢的新冠密接者进行核酸检测
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、了解全球人类男女比例情况，适合做抽样调查，不符合题意；
B、了解一批灯泡的平均使用寿命，适合做抽样调查，不符合题意；
C、调查20～25岁年轻人最崇拜的偶像，适合做抽样调查，不符合题意；
D、对同一车厢的新冠密接者进行核酸检测，适合做普查，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
三．总体、个体、样本、样本容量（共4小题）
8．（2022•泰兴市一模）新冠病毒的核酸检测方式主要分单采和混采两种．
单采：将一个受试者的采集拭子放到一个试管中作为样本检测．
混采：将10个受试者的采集拭子放到一个试管中作为样本检测，检测结果为阴性时，参加混检的10个受试者都是安全的；检测结果为阳性时，会立即对该混采试管的10个受试者重新进行单采复检，进而确定谁是阳性．
单采与混采的人均检测费用比为7：2，分别用1120元进行混采和单采，混采可比单采多检测100人．
（1）求单采与混采的人均检测费用分别为多少元？
（2）某小区对300名居民用混采的方式进行核酸检测，发现有阳性病例，立即组织单采复检，初检和复检总费用不足2960元，求参加复检的人数．
【分析】（1）设单采的人均费用为7x元，由混采可比单采多检测100人列方程+100＝，求解即可；
（2）设参加复检的人数为y，根据初检和复检总费用不足2960元列不等式28y+×8＜2960求解．
【解答】解：（1）设单采的人均费用为7x元，由题意得：
+100＝，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原分式方程的解，
∴7x＝28，2x＝8，
答：单采与混采的人均检测费用分别为28元、8元；
（2）设参加复检的人数为y，
28y+×8＜2960，
解得：y＜97，
∴参加复检的人数不足97人．
【点评】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键．
9．（2022•姜堰区二模）为了解某校七年级1000名学生学习中国海军史的情况，学校组织了中国海军史知识测试，并从中随机抽取了200名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．1000名学生是总体
B．200名是样本容量
C．被抽取的200名学生是总体的一个样本
D．该校七年级每名学生的中国海军史知识测试的成绩是个体
【分析】分别根据总体，样本容量，个体的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．这1000名学生的中国海军史知识测试成绩的全体是总体，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．样本容量是200，故本选项不符合题意；
C．被抽取的200名学生的中国海军史知识测试成绩是总体的一个样本，故本选项不符合题意；
D．该校七年级每名学生的中国海军史知识测试的成绩是个体，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查统计知识的总体，样本，个体等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．
10．（2022秋•亭湖区期中）学校为了解我校八年级同学的视力情况，从八年级的15个班共709名学生中，抽取了75名进行分析．在这个问题中，样本容量是 　75　．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：从八年级的15个班共709名学生中，抽取了75名进行分析，所以样本容量是75．
故答案为：75．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，正确记忆相关概念是解题关键．
11．（2022春•大丰区校级月考）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机抽取了400个家长进行调查，结果有360个家长持反对态度．则这次调查的样本容量是　400　．
【分析】根据样本容量是样本中包含的个体的数目，可得答案．
【解答】解：为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机抽取了400个家长进行调查，故样本容量为400．
故答案为：400．
【点评】此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位．
四．抽样调查的可靠性（共1小题）
12．（2022•工业园区模拟）为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取方法最合适的是（　　）
A．随机抽取一个班级的学生
B．随机抽取一个年级的学生
C．随机抽取一部分男生
D．在全校每个班级中随机抽取10%的学生
【分析】应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案．
【解答】解：A．随机抽取一个班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故A选项不符合题意；
B．随机抽取一个年级的学生，不能很好地反映总体的情况，故B选项不符合题意；
C．随机抽取一部分男生，不能很好地反映总体的情况，故C选项不符合题意；
D．在全校每个班级中随机抽取10%的学生，能很好地反映总体的情况，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抽样调查的可靠性，熟练掌握抽样调查的可靠性的定义进行求解是解决本题的关键．
五．用样本估计总体（共4小题）
13．（2022•秦淮区二模）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了1000名初中学生进行调查．整理样本数据，得到如表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
204
196
160
186
254
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 　7200人　．
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即可．
【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），
故答案为：7200人．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．（2022•建邺区一模）为了解某校“双减”政策落实情况，一调查机构从该校随机抽取100名学生，了解他们每天完成作业的时间，得到的数据如图（A：不超过30分钟；B：大于30不超过60分钟；C：大于60不超过90分钟；D：大于90分钟），则该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有 　1500　人．

【分析】用总人数乘以样本中A、B部分对应的百分比即可．
【解答】解：该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有2000×（1﹣15%﹣10%）＝1500（人），
故答案为：1500．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
15．（2022春•宝应县校级月考）小江为了估计某山区上鸟群的数量，先捕捉40只鸟给它们分别作上标志，然后放回，第二次捕捉120只鸟，发现其中4只有标志，那么该山区上鸟群约有 　1200　只．
【分析】用40除以第二次捕捉120只鸟中有标志的鸟所占的百分比即可．
【解答】解：40÷＝1200，
所以该山区的鸟群数量约1200只，
故答案为：1200．
【点评】此题考查了用样本估计总体，关键是求出有标志的鸟所占的比，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想．
16．（2022•建邺区二模）某校随机抽取80名同学进行关于“创全”的调查问卷，通过调查发现其中76人对“创全”了解的比较全面，由此可以估计全校的1500名同学中，对于“创全”了解的比较全面的约有　1425　人．
【分析】首先计算调查的80人中了解的比较全面的所占的百分比．再进一步估算全校1500名学生中了解的比较全面的人数即可．
【解答】解：根据题意知，全校的1500名同学中，对于“创全”了解的比较全面的约有×1500＝1425（人），
故答案为：1425．
【点评】本题主要考查样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
六．频数与频率（共4小题）
17．（2022•滨海县模拟）将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是 　0.3　．
【分析】根据频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
30÷100＝0.3，
∴1﹣0.3﹣0.4＝0.3，
∴第三组的频率是0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查了频率与频数，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
18．（2022•常州二模）已知一组数据有60个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，10，6，7，第五组的频率是0.2，故第六组的频数是 　20　．
【分析】根据频率＝求出第五组的频数，再根据各组频数之和为60求出答案即可．
【解答】解：第五组的频数为：60×0.2＝12，
所以第六组的频数为：60﹣5﹣10﹣6﹣7﹣12＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查频数与频率，掌握频率＝，以及各组频数之和等于样本容量是解决问题的关键．
19．（2022春•泰州月考）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是 　0.28　．
【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
【解答】解：根据题意得：50﹣（12+10+6+8）＝50﹣45＝14，
则第5组的频率为14÷50＝0.28，
故答案为：0.28．
【点评】此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键．
20．（2022春•靖江市月考）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购买 　4　个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
【分析】根据“合格率”“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．
【解答】解：因为产品的抽样合格率为75%，
所以产品的抽样不合格率为1﹣75%＝25%＝，
因此当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品，
故答案为：4．
【点评】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．
七．频数（率）分布表（共3小题）
21．（2022•镇江）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
车速（km/h）
40
41
42
43
44
45
频数
6
8
15
a
3
2
其中车速为40、43（单位：km/h）的车辆数分别占监测车辆总数的12%、32%．
（1）求出表格中a的值；
（2）如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
【分析】（1）利用“频率＝频数÷总数”可得样本容量，再用样本容量乘32%即可得出a的值；
（2）根据题意求出安全行驶速度的范围，再利用样本估计即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
a＝50×32%＝16；
（2）由题意得出，安全行驶速度小于或等于44km/h，
因为该时段检测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为，
所以估计其中安全行驶的车辆数为：20000×＝19200（辆）．
【点评】此题考查了频数（率）分布表及用样本估计总体，正确列出算式并掌握运算法则是解答本题的关键．
22．（2022春•海门市期中）受新冠疫情的影响，某区决定所有中小学暂停线下教学，改为线上教学．该区教研室为了解线上“课堂有效提问”的现状，从全区所有线上课堂教学中随机抽取了40节课，它们的课堂有效提问的次数分别为：
4，5，5，5，12，13，14，14，1，2，
18，20，19，24，3，4，4，6，10，10，
10，10，11，14，6，7，7，8；15，16，
8，8，9，9，10，10，10，9，14，14，
（1）根据上述数据完成下表：
次数x
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x＜20
20≤x＜25
节数
6
　13　
15
　4　
2
（2）估计全区课堂有效提问的次数在10≤x＜20范围的节数占总节数的百分之几？
（3）若教研室对线上“课堂有效提问”的次数作出规定，你认为规定次数定为多少时比较合理？并说明理由．
【分析】（1）根据题目给出的数据解答即可；
（2）用15除以总数即可；
（3）利用众数或中位数解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，有效提问的次数在5≤x＜10的有13节，有效提问的次数在15≤x＜20的有4节，
故答案为：13；4；
（2）（15+4）÷40×100%＝47.5%，
答：估计全区课堂有效提问的次数在10≤x＜20范围的节数占总节数的37.5%；
（3）这组数据的众数为10，中位数也位于10≤x＜15，
故若教研室对线上“课堂有效提问”的次数作出规定，你认为规定次数定为10节．
【点评】本题考查了频数分布表以及用样本估计总体，理清题意，正确把数据分组是解答本题的关键．
23．（2022•江阴市校级模拟）某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2013年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别
A
B
C
D
频数
30
40
24
b
频率
a
0.4
0.24
0.06
（1）表中的a＝　0.3　，b＝　6　；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？

【分析】（1）根据B类频数和频率求出总数，再根据频数、频率、总数之间的关系分布进行计算即可；
（2）用类别为B的学生数所占的百分比乘以360°，即可得出答案；
（3）用1000乘以类别为C的人数所占的百分比，即可求出该校学生中类别为C的人数．
【解答】解：（1）问卷调查的总人数是：＝100（名），
a＝＝0.3，b＝100×0.06＝6（名），
故答案为：0.3，6；

（2）类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4＝144°；

（3）根据题意得：1000×0.24＝240（名）．
答：该校学生中类别为C的人数约为240名．
【点评】此题考查了扇形统计图和频数（率）分布表，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用的信息．
八．频数（率）分布直方图（共3小题）
24．（2022•镇江）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 　5　kg．

【分析】根据频数分布直方图计算即可．
【解答】解：组距为＝5（kg）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了频数分布直方图，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25．（2022•宿豫区二模）某中学为了促进学生对新冠肺炎防控知识的掌握，随机抽取了部分学生进行疫情防控知识竞赛，对优秀学生给予表扬，竞赛成绩（满分100分）分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如下不完整的统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题．
（1）本次抽样调查的学生有 　300　人；
（2）补全频数分布直方图；B组对应扇形的圆心角的度数为 　79.2°　；
（3）该学校共有3000名学生，若规定竞赛成绩80≤x＜90为良好，x≥90为优秀．估算全校学生对新冠肺炎防控知识掌握达到良好和优秀的总人数．
【分析】（1）根据A组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生数；
（2）用360°乘以B组所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以竞赛成绩为良好和优秀的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的学生有：30÷10%＝300（人），
故答案为：300；

（2）D组学生有：300﹣30﹣66﹣114＝90（人），
B组所占扇形的圆心角度数为：360°×＝79.2°；
补全频数分布直方图如图：

故答案为：79.2°；

（3）根据题意得：
3000×＝2040（人），
答：估计全校学生对新冠肺炎防控知识掌握达到良好和优秀的总人数为2040人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
26．（2022•东台市模拟）学校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作了两幅如图的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）学生会随机调查了 　50　名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形E应的圆心角为 　28.8　度；
（4）若全校有1800名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比即可得出总人数；
（2）总人数乘以C组的百分比求得C组人数，总人数减去其余各组人数求得B人数人数即可补全条形图；
（3）用360°乘E所占比例可得；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数所占比例可得．
【解答】解：（1）学生会调查的学生人数为10÷20%＝50（人），
故答案为：50；
（2）∵1.5≤x＜2的人数为50×40%＝20人，
∴1≤x＜1.5的人数为50﹣（3+20+10+4）＝13人，
补全图形如下：

（3）360°×＝28.8°，
故答案为：28.8；
（4）1800×＝504（人），
答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2小时的学生有504人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
九．频数（率）分布折线图（共1小题）
27．（2022•吴中区模拟）如图所示，苏州市2021年5月1～10日最高温度的折线统计图，由此图可知这10天中，出现最高气温为26℃的天数频率是 　0.3　．

【分析】由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，再根据频率的概念求解即可．
【解答】解：由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，
所以出现气温为26℃的频率是3÷10＝0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题主要考查频数（率）分布折线图，折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
一十．统计表（共1小题）
28．（2022•鼓楼区二模）有人得了某种疾病，想到甲医院或乙医院就诊，他了解到甲、乙两家医院短期内治愈患该疾病的病人的情况如表：

重症病人比例
重症治愈率
轻症病人比例
轻症治愈率
总治愈率
甲医院
20%
10%
80%
80%
a%
乙医院
80%
b%
20%
95%
59%
（1）a的值为 　66　，b的值为 　50　；
（2）结合上表说明“从不同角度看数据可能会得到不同的结论”．
【分析】（1）利用“治愈率＝”解答即可；
（2）结合统计表中的数据解答即可．
【解答】解：（1）设看病的人数有x人，根据题意得：
a%＝×100%＝66%，
即a＝66；
×100%＝59%，
解得：b＝50；
故答案为：66，50；
（2）从总治愈率来看，甲医院比乙医院高；从重症治愈率来看，乙医院比甲医院高得多．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了统计表，理清“治愈率＝”是解答本题的关键．
一十一．扇形统计图（共2小题）
29．（2022•苏州）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（　　）

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
【分析】先求出总人数，再用总人数乘以参加“大合唱”人数占的百分比即可得答案．
【解答】解：参加“书法”的人数为80人，由扇形统计图知参加“书法”的人数占总人数的20%，
∴总人数为80÷20%＝400（人），
∴参加“大合唱”的人数为400×（1﹣20%﹣15%﹣25%）＝160（人），
故选：C．
【点评】本题考查扇形统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
30．（2022•连云港）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目
人数
A乒乓球
m
B排球
10
C篮球
80
D跳绳
70
（1）本次调查的样本容量是 　200　，统计表中m＝　40　；
（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是 　18　°；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．

【分析】（1）本次调查的样本容量用篮球的人数÷所占的百分比；乒乓球人数＝本次调查的样本容量﹣排球人数﹣篮球人数﹣跳绳人数；
（2）“B排球”对应的圆心角的度数：360°×这部分的比值；
（3）该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数：总体×A乒乓球所占百分数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：80÷40%＝200（人）；
A乒乓球人数：200﹣70﹣80﹣10＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）“B排球”对应的圆心角的度数：360°×＝18°；
故答案为：18；
（3）该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数：2000×＝400（人），
答：该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数估计为400人．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，掌握这几个知识点的应用，其中用样本估计总体是统计的基本思想是解题关键．
一十二．条形统计图（共3小题）
31．（2022春•睢宁县月考）如图是第七次全国人口普查的部分结果．下列判断正确的是（　　）

A．江苏0﹣14岁人口比重高于全国
B．徐州15﹣59岁人口比重高于江苏
C．江苏60岁以上人口比重低于徐州
D．徐州15岁以上人口比重低于江苏
【分析】根据条形统计图分析数据解答判断即可．
【解答】解：根据图表内容可知，
江苏0～14岁人口比重低于全国，故A说法错误，不符合题意；
徐州15～59岁人口比重低于江苏，故B说法错误，不符合题意；
江苏60岁及以上人口比重高于徐州，故C说法错误，不符合题意；
徐州15岁以上人口比重低于江苏，故D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了条形统计图，根据条形统计图分析出正确的数据是解题的关键．
32．（2022•淮安）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．

请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 　200　名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 　72　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
【分析】（1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用1200乘以“篮球”项目的百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（名），
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝72°，
故答案为：200，72；
（2）选择足球的学生有：200﹣30﹣60﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：

（3）1200×＝180（名），
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
33．（2022•昆山市校级一模）为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“A优秀：90≤x≤100；B良好：89≤x≤75；C合格74≤x≤60；D不合格：x＜60”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 　120　名学生；
（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为：　54°　．
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
【分析】（1）根据B组人数以及频率求出总人数即可；
（2）用D的人数除以总人数，再乘360°，列式计算即可；
（3）用总人数乘C所占比例，得出C的人数，再减去男生人数即可得出C的女生人数；用总人数减去其它人数，得出A的男生人数；然后将条形统计图补充完整即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）此次共调查学生：（25+23）÷40%＝120（名），
故答案为：120；
（2），
即扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为54°，
故答案为：54°；
（3）C的女生人数为：120×20%﹣12＝12（名）；
A的男生人数为：120﹣16﹣25﹣23﹣12﹣12﹣10﹣8＝14（名），
将条形统计图补充完整：

（4）1500×＝375（人），
答：估计卫生防疫知识考核优秀的学生约375人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体的应用等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
一十三．折线统计图（共2小题）
34．（2022•徐州）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．

已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（　　）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【分析】根据折线统计图的信息解答即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，说法正确，故本选项不合题意；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，说法正确，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，说法错误，五年的人口总数增长速度变缓，故本选项符合题意；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，掌握人口自然增长率的定义是解答本题的关键．
35．（2022•鼓楼区校级二模）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 　100　；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．

【分析】（1）先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；
（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数，再补全折线统计图；用c部分所占的百分比乘以360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个百分比即可得到c程度的总人数的估计值．
【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：

（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图和用样本估计总体．
一十四．统计图的选择（共1小题）
36．（2021•苏州二模）近年来，我国城乡居民的收入有了大幅提高，为了了解我国城乡居民收入10年来的变化趋势，适合采用的统计图是 　折线统计图　．（填“扇形统计图”或“折线统计图”）
【分析】根据三种统计图各自的优势选择即可．
【解答】解：由于需要了解我国城乡居民收入10年来的变化趋势，所以适合采用的统计图是折线统计图，
故答案为：折线统计图．
【点评】本题主要考查统计图的选择，扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
一十五．随机事件（共2小题）
37．（2022•江都区一模）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．2023年的2月有29天
B．对顶角相等
C．明天太阳从西方升起
D．打开电视机，正在播放广告
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、2023年的2月有29天，是不可能事件，不符合题意；
B、对顶角相等，是必然事件，不符合题意；
C、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放广告，是随机事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
38．（2022•泗阳县一模）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是　随机事件　．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
【分析】直接利用随机事件的定义得出答案．
【解答】解：若a2＝b2，则a＝±b，
故若a2＝b2，则a＝b，这一事件是随机事件．
故答案为：随机事件．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
一十六．可能性的大小（共2小题）
39．（2022•泗阳县一模）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（　　）
A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
40．（2022•镇江模拟）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：
A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？
【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能；
（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．
【解答】解：（1）列表：

三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；
（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率＝＝；B采用的方案使自己乘上等车的概率＝＝，
因为＜，
所以B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大．
【点评】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比．
一十七．概率公式（共5小题）
41．（2022春•江阴市校级月考）在﹣1，0，，，π中任取一个数，取到无理数的概率是 　　．
【分析】用无理数的个数除以数据的总数即可求得概率．
【解答】解：数据﹣1，0，，，π中无理数为，π共2个，
所以任取一个数是无理数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
42．（2022•海陵区二模）某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下（以下数据来源于国际航空飞行安全网）：
信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图1；
信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图2；
根据以上信息，解决下列问题：
（1）根据以上信息分析可知，　A　类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强；（填写字母）
（2）近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的 　13.57　%；（横线上的数精确到0.01）
（3）记C类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，记E类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，则　＞　；（填“＞”、“＝”或“＜”）
（4）请结合图1和图2的相关信息，给某航空公司提供一条关于预防飞行事故发生的具体措施．
【分析】（1）分析条形统计图即可得出答案；
（2）根据条形统计图进行计算即可得出答案；
（3）应用方差的性质进行求解即可得出答案；
（4）根据折线统计图和条形统计图进行分析即可得答案．
【解答】解：（1）由条形图可知，A类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强．
故答案为：A；
（2）由条形图可知近百年来飞机发生事故总数为：2+8+1+205+25+24+5+131+7+2+26+1+85+8+93+27＝560，
近百年来飞机发生重大事故总数为：2+1+25+5+7+1+8+27＝76，
所以近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的≈13.57%；
故答案为：13.57%；
（3）由折线统计图可知，C类危险天气导致飞行事故的月频数的波动性大于E类危险天气导致飞行事故的波动性，
所以＞；
故答案为：＞．
（4）在每年的1月份和12月份要关注天气变化预防C类危险天气导致飞行事故．
【点评】本题主要考查了折线统计图和条形统计图及方差，熟练掌握折线统计图和条形统计图及方差的性质进行求解即可得出答案．
43．（2022•镇江二模）下列说法正确的是（　　）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为S甲2、S乙2．若，S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩没有乙的稳定
D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
【分析】利用调查方式的选择、三角形的内角和定理、方差的意义及概率公式分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、为了解三名学生的视力情况，采用全面调查，故原命题错误，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，正确，符合题意；
C、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为S甲2、S乙2．若，S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解调查方式的选择、三角形的内角和定理、方差的意义及概率公式等知识，难度不大．
44．（2022•兴化市二模）一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 　　．
【分析】根据一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，从而可以求得从袋中任意摸出一个球是黑球的概率．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，
∴从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
45．（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．
（1）快递包装纸盒应投入 　A　垃圾箱；
（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是 　　；
（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．
【分析】（1）快递包装纸盒属于可回收物；
（2）根据概率公式求解即可；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）快递包装纸盒应投入A垃圾箱，
故答案为：A；
（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是，
故答案为：；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中她投放正确的只有1种结果，
∴她投放正确的概率为．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
一十八．几何概率（共2小题）
46．（2022•徐州）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，

则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
47．（2022•姜堰区二模）如图，一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是 　　．

【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××2×1＝4，
∴任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
一十九．列表法与树状图法（共4小题）
48．（2022春•工业园区校级月考）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步：如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3……，直到棋子到达终点或超过终点停止．

（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出转动转盘两次的数字和为7的结果数，然后根据概率公式计算转动转盘两次能通过游戏的概率．
【解答】解：（1）转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率＝；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中转动转盘两次能通过游戏的结果数为2，
所以转动转盘两次能通过游戏的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
49．（2021秋•涟水县期末）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾，其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．
（1）写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率 　　；
（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率（用树状图或列表解决）．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D，
∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，
∴甲拿的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；
故答案为：．
（2）画树状图如下：

由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
50．（2022•沭阳县模拟）如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC三边相切，已知AB＝5m，AC＝4m，BC＝3m，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率 　　（π取3）．

【分析】设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，由切线长定理求出CF，再利用勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，由圆的面积公式和直角三角形的面积公式可求出结果．
【解答】解：如下图，设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，

连接OD、OF、OE，
设CF＝xm，则AD＝AE＝AC﹣DC＝（4﹣x）m，BF＝BE＝BC﹣CF＝（3﹣x）m，
由AB＝AE+BE，得（3﹣x）+（4﹣x）＝5，
解得x＝1，
∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵D、F分别是圆O与AC和BC相切的切点，
∴∠ODC＝∠OFC＝90°，OD＝OF，
∴四边形DOFC是正方形，
即OD＝CF＝1m，
∴S△ABC＝AC×BC＝×4×3＝6（m2），S圆O＝π×12＝3（m2）
∴落入水池的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理逆定理，切线长定理，熟练掌握勾股定理逆定理，切线长定理和圆的面积公式及三角形的面积公式是解题的关键．
51．（2022春•盱眙县期中）在一次“智慧家长”培训活动中，就“如何正确引导孩子面对校园欺凌现象”问题进行了互动交流，培训老师对参会家长发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图．
组别
发言次数n
百分比
A
0≤n＜3
10%
B
3≤n＜6
20%
C
6≤n＜9
30%
D
9≤n＜12
26%
E
12≤n＜15
6%
F
15≤n＜18
m%
请你根据所给的相关信息，解答下列问题：
（1）本次共有 　50　名家长参加培训活动，m＝　8　；
（2）补全条形统计图，观察此图，发言次数的“中位数”落在 　C　组（填字母）；
（3）已知参加培训活动的家长中，E组只有1名女家长，F组只有2名男家长，现要从E组、F组中分别选派1名家长做总结发言，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名家长恰好是1男1女的概率．

【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再根据所有百分比的和为1，即可求出m的值；
（2）先计算出C组的人数，再补全条形统计图，然后根据中位数的定义即可得出答案；
（3）先求出E组和F组的人数，再根据题意列出树形图，求出总的情况数和一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）由条形图知，B组共有10名，占20%，
所以本次共有家长参加培训活动的人数有：10÷20%＝50（名），
m＝100﹣10﹣20﹣30﹣26﹣6＝8，
故答案为：50，8；

（2）C组人数为50×30%＝15（人），补全统计图如下：

中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在C组，
所以中位数落在C组，
故答案为：C．

（3）E组人数为50×6%＝3（人），F组家长有：50×8%＝4（名），
E组共有3名家长，2男1女，F组有4名家长，2男2女，
画树状图如下：

共有12种等可能的情况数，其中所选派的两名家长恰好是1男1女的有6种，
∴所选派的两名家长恰好是1男1女的概率为：＝．
【点评】本题考查了条形图、频率分布图、树形图、概率等相关知识，难度不大，综合性较强．概率＝所求情况数与总情况数之比．
二十．游戏公平性（共5小题）
52．（2022•泰兴市一模）某社区要招募一名省运会志愿者，小红和小明都积极报名参加，社区拟采用抽签的办法决定谁是志愿者．抽签规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个签（除编号外都相同）：从中随机抽出两个签，记下数字，若两个数字之和为奇数，则小红为志愿者，若两个数字之和为偶数，则小明为志愿者．
（1）请用列表或画树状图的方法列出抽签所有可能出现的结果；
（2）这个抽签规则对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果即可；
（2）求出小红、小明获胜的概率即可．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

（2）这个抽签规则对双方不公平，理由如下：
由（1）可得，共有6种可能出现的结果，其中两张卡片数字之和为奇数的有4种，偶数的有2种，
所以小红胜的概率为＝，小明胜的概率为＝，
因为，
所以不公平．
【点评】本题考查游戏的公平性，求出小红、小明获胜的概率是正确解答的关键，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
53．（2022•建湖县一模）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4．
（1）小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 　　；
（2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可得出答案；
（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有四个数字，分别标有1，2，4，5，
∴小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是．
故答案为：；
（2）这个游戏对双方不公平，
理由如下：列表如下：
被减数
减数
1
2
4
5
3
﹣2
﹣1
1
2
4
﹣3
﹣2
0
1
4
﹣3
﹣2
0
1
由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果，
∴小春获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
54．（2022•盐城一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　　；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：．
（2）此游戏不公平，理由如下：
列表如下：

A
B
B
C
C
A

（B，A）
（B，A）
（C，A）
（C，A）
B
（A，B）

（B，B）
（C，B）
（C，B）
B
（A，B）
（B，B）

（C，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）

（C，C）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）

由表知，共有20种等可能结果，其中摸到A棋的有8种结果，摸到两颗相同的棋子的有4种结果，
所以小明获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平．
【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
55．（2022•相城区一模）北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．

（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　　；
（2）若冬奥会会徽邮票记作A邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B邮票，吉祥物雪容融邮票记作C邮票．小明和小亮制定游戏规则：随机从中抽取1张邮票，不放回，再抽出第2张邮票，若抽到A邮票，则小明胜；若摸到两张相同的邮票，则小亮胜：其余情况视为平局，游戏重新进行．请用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是；
故答案为：；

（2）此游戏不公平，理由如下：
列表如下：

A
B
B
C
C
A

（B，A）
（B，A）
（C，A）
（C，A）
B
（A，B）

（B，B）
（C，B）
（C，B）
B
（A，B）
（B，B）

（C，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）

（C，C）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）

由表知，共有20种等可能结果，其中摸到A棋的有8种结果，摸到两颗相同的棋子的有4种结果，
所以小明获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平．
【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
56．（2022•苏州模拟）现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为 　　；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）由列表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝，即可得出答案．
【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种，
∴P（摸出红球）＝，
故答案为：；

（2）这个游戏规则不公平．理由如下：
根据题意，列表如下：

红1
红2
白
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，白）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，白）
红
（红，红1）
（红，红2）
（红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种
则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，
∵＜，
∴这个游戏规则不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二十一．利用频率估计概率（共3小题）
57．（2022•盐城二模）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．小贤从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中黑球的个数最有可能是 　20个　．

【分析】由统计图知，随着摸球次数的逐渐增大，黑球的频率逐渐稳定于0.5，据此得估计从袋子中随机摸一个球，是黑球的概率约为0.5，再乘以球的总个数即可．
【解答】解：由统计图知，随着摸球次数的逐渐增大，黑球的频率逐渐稳定于0.5，
所以估计从袋子中随机摸一个球，是黑球的概率约为0.5，
则袋中黑球的个数约为40×0.5＝20（个），
故答案为：20个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
58．（2022•睢宁县模拟）一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　）
A．6 B．14 C．5 D．20
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据题意得：
20×（1﹣0.3）
＝20×0.7
＝14（个），
答：估计袋子中红球的个数约为14个；
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
59．（2022•张家港市一模）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
【分析】（1）根据比较满意的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）先求出“非常满意”的人数，再用总人数减去其他评价的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；
（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该校被调查的学生总数是：21÷35%＝60（人）；

（2）“非常满意”的人数有：60×15%＝9（人），
“满意”的人数为60﹣（9+21+3）＝27（人），
补全统计图如下：


（3）估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是＝．
【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大．