2022-2023学年七年级数学上学期期末专题07 解一元一次方程重难题型分类练（九大考点）

这是一份2022-2023学年七年级数学上学期期末专题07 解一元一次方程重难题型分类练（九大考点），共18页。试卷主要包含了用“☆”定义一种新运算，用“⊕”定义一种新运算，我们规定，定义等内容，欢迎下载使用。
解一元一次方程重难题型分类练（九大考点）
一．方程定义的理解
1．已知（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝　 　．
2．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m＝　 　．
二．含绝对值的方程--分类思想
3．已知|2x﹣3|＝1，则x的值为　 　．
4．已知方程|2x﹣1|＝2﹣x，那么方程的解是　 　．
5．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
（1）利用上述方法解方程：|3x﹣2|＝4．
（2）当b满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|＝b﹣1，①无解；②只有一个解；③有两个解．
三．方程中的新定义
6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4．
（1）求（﹣2）☆5的值；
（2）若a+12☆3＝8，求a的值；
（3）若m＝2☆x，n＝（13−x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m　 　n（填“＞”、“＜”或“＝”）．
7．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2﹣2ab，比如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21
（1）试求（﹣2）*3的值；
（2）若（﹣2）*（1*x）＝x﹣1，求x的值．
8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a．
如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）则（﹣2）⊕3的值为 　 　；
（2）若a+12⊕(−3)=8，求a的值．
9．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2的解．
四．解方程易错--去分母，去括号
11．解方程：
（1）y−12=2−y+25
（2）x−30.3−2x+0.10.2=−1
12．解下列方程：
（1）2（2x﹣1）＝3x﹣1
（2）3x+42=2x+13
（3）1.5x0.3−1.5−x0.1=1.5
（4）3x−13−x＝1−4x−16．
13．解方程：
（1）12[x−12（x﹣1）]=23（x+2）．
（2）7+0.3x−0.20.2=1.5−5x0.5．
五．看错类---将错就错来改错
14．王聪在解方程x+a3−1=2x−13去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x＝2，你能正确求出原先这个方程的解吗？
15．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程2x−13=x+a2−1去分母时由于粗心，方程右边的﹣1没有乘6而得到错解x＝4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
16．晶晶在解关于x的方程ax−12+6=2+x3时，把6错写成1，解得x＝1，并且晶晶在解题中没有错误，请你正确求出此方程的解．
六．解的关系---先求解。
17．已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程2x−12=x+a3−a的解的和为114，求a的值．
18．求当m为何值时，关于x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比x2=x﹣m的解多2？
19．已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程4y−15=2y+13−0.6的解互为倒数，求m的值．
20．已知方程3y﹣2＝6y+1的解与关于x的方程4x+2m＝3x+1的解互为相反数，求m的值．
七．同解方程钥匙---解（解相同，新方程）
21．如果方程x−43−8=x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a2﹣a的值．
22．如果方程3（x﹣1）﹣2（x+1）＝﹣3和2x−13−x+a2=1的解相同，求出a的值．
八．方程综合提高
23．已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求出y的值；
（3）若数a满足|a|≤|m|，试化简：|a+m|+|a﹣m|．
24．（1）小玉在解方程2x−13=x+a2−1去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x＝10，试求a的值．
（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？
九．阅读题--紧扣例子，化归思想
25．已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝　 　和x2＝　 　；
（2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
26．阅读理解学：
我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：
问题：利用一元一次方程将0.7⋅化成分数．
设0.7⋅=x．
由0.7⋅=0.7777…，可知10×0.7⋅=7777…＝7+0.7777…＝7+0.7⋅，
即10x＝7+x．
可解得x=79，即0.7⋅=79．
（1）将0.5⋅直接写成分数形式为 　 　．
（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
①0.2⋅7⋅；
②0.13⋅6⋅．

一．方程定义的理解
1．已知（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝　﹣3　．
试题分析：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
答案详解：解：∵（m﹣3）x|m|﹣2+m﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴m−3≠0|m|−2=1，
即m≠3m=±3，
解得m＝﹣3．
所以答案是：﹣3．
【点评】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
2．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m＝　﹣1　．
试题分析：根据一元一次方程的定义可得答案．
答案详解：解：方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
所以答案是：m＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据定义列出|m|＝1，m﹣1≠0，解出m．
二．含绝对值的方程--分类思想
3．已知|2x﹣3|＝1，则x的值为　2或1　．
试题分析：由绝对值的性质，即可推出2x﹣3＝±1，于是得x1＝2，x2＝1．
答案详解：解：|2x﹣3|＝1，
2x﹣3＝±1，
2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1，
x1＝2，x2＝1．
所以答案是：2或1．
【点评】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．关键是得到2x﹣3＝±1．
4．已知方程|2x﹣1|＝2﹣x，那么方程的解是　x＝±1　．
试题分析：绝对值方程要转化为整式方程，因为|2x﹣1|＝±（2x﹣1），所以得方程2﹣x＝±（2x﹣1），解即可．
答案详解：解：由|2x﹣1|＝2﹣x，可得：2﹣x＝±（2x﹣1），
当2﹣x＝2x﹣1，解得：x＝1，
当2﹣x＝﹣2x+1，解得：x＝﹣1，
所以方程的解为x＝±1．
【点评】考查绝对值方程的解法，绝对值方程要转化为整式方程来求解．要注意|x|＝±x，所以方程有两个解．
5．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
（1）利用上述方法解方程：|3x﹣2|＝4．
（2）当b满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|＝b﹣1，①无解；②只有一个解；③有两个解．
试题分析：（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
答案详解：解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2＝4，
∴3x＝2+4，
∴3x＝6，
解得x＝2；
当3x﹣2＜0时，原方程可化为3x﹣2＝﹣4，
∴3x＝﹣2，
解得x=−23；
所以原方程的解是x＝2或x=−23；
（2）①当|x﹣2|＝b﹣1无解时，
b﹣1＜0，
即b＜1；
②当|x﹣2|＝b﹣1只有一个解时，
b﹣1＝0，
即b＝1；
③当|x﹣2|＝b﹣1有两个解时，
b﹣1＞0，
即b＞1．
【点评】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
三．方程中的新定义
6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4．
（1）求（﹣2）☆5的值；
（2）若a+12☆3＝8，求a的值；
（3）若m＝2☆x，n＝（13−x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m　＞　n（填“＞”、“＜”或“＝”）．
试题分析：（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；
（3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案．
答案详解：解：（1）（﹣2）☆5＝（﹣2）×52﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）＝﹣3；

（2）a+12☆3＝8，
a+12×32﹣2×a+12×3+a+12=8，
9（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16，
9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16，
4a＝12，
a＝3；

（3）∵m＝2☆x＝2•x2﹣2×2x+2＝2x2﹣4x+2，n＝（13−x）☆3＝（13−x）•32﹣2（13−x）•3+13=−3x+113，
m﹣n＝2x2﹣x+23=2（x−14）2+1924＞0，
∴m＞n，
所以答案是：＞．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
7．“*”是新规定的这样一种运算法则：a*b＝a2﹣2ab，比如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21
（1）试求（﹣2）*3的值；
（2）若（﹣2）*（1*x）＝x﹣1，求x的值．
试题分析：（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出x的值．
答案详解：解：（1）根据题中的新定义得：原式＝4+12＝16；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：4+4（1﹣2x）＝x﹣1，
解得：x＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2+2ab+a．
如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）则（﹣2）⊕3的值为 　﹣32　；
（2）若a+12⊕(−3)=8，求a的值．
试题分析：（1）原式利用题中新定义化简，计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出a的值．
答案详解：解：（1）根据题中新定义得：（﹣2）⊕3＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32；
所以答案是：﹣32；
（2）根据题中新定义得：a+12⊕﹣3＝8，
a+12×（﹣3）2+2×a+12×（﹣3）+a+12=8，
整理得：4（a+1）＝16，
解得：a＝3．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
试题分析：（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
答案详解：解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
∴m3=m+3，
解得：m=−92．

（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n=−23．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．
10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2的解．
试题分析：（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
答案详解：解：（1）∵3x+m＝0，
∴x=−m3．
∵4x﹣2＝x+10．
∴x＝4．
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，
∴−m3+4＝1．
∴m＝9．
（2）∵“美好方程”的两个解的和为1，
∴另一个方程的解为：1﹣n．
∵两个解的差为8，
∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8．
∴n=−72或n=92．
（3）∵12022x+1＝0．
∴x＝﹣2022．
∵关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k的解为1﹣（﹣2022）＝2023．
关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2可化为：12022（y+1）+3＝2（y+1）+k．
∴y+1＝x＝2023．
∴y＝2022．
【点评】本题考查一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键．
四．解方程易错--去分母，去括号
11．解方程：
（1）y−12=2−y+25
（2）x−30.3−2x+0.10.2=−1
试题分析：按着解一元一次方程的一般步骤，解决每题即可．
答案详解：解：（1）去分母，得5（y﹣1）＝20﹣2（y+2），
去括号，得5y﹣5＝20﹣2y﹣4，
移项，得5y+2y＝20﹣4+5，
整理，得7y＝21，
解得，y＝3．
（2）方程可变形为10x−303−20x+12=−1
去分母，得2（10x﹣30）﹣3（20x+1）＝﹣6，
去括号，得20x﹣60﹣60x﹣3＝﹣6，
移项，得20x﹣60x＝60+3﹣6
合并，得﹣40x＝57
所以x=−5740．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．注意去分母时，勿漏乘不含分母的项，移项时，勿忘记该项变号．
12．解下列方程：
（1）2（2x﹣1）＝3x﹣1
（2）3x+42=2x+13
（3）1.5x0.3−1.5−x0.1=1.5
（4）3x−13−x＝1−4x−16．
试题分析：两方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
答案详解：解：（1）去括号得：4x﹣2＝3x﹣1，
4x﹣3x＝2﹣1，
∴x＝1；
（2）去分母得：3（3x+4）＝2（2x+1）
9x+12＝4x+2，
∴x＝﹣2；
（3）化简得：5x﹣15+10x＝1.5，
∴x＝1.1；
（4）去分母得：2（3x﹣1）﹣6x＝6﹣（4x﹣1），
6x﹣2﹣6x＝6﹣4x+1，
∴x=94．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟记其步骤是解题的关键．
13．解方程：
（1）12[x−12（x﹣1）]=23（x+2）．
（2）7+0.3x−0.20.2=1.5−5x0.5．
试题分析：（1）先去中括号，再去小括号然后移项后把x的系数化为1即可；
（2）根据分式的性质化简方程，再按照解方程的步骤解方程即可．
答案详解：解：（1）12[x−12（x﹣1）]=23（x+2），
12x−14（x﹣1）=23x+43，
12x−14x+14=23x+43，
6x﹣3x+3＝8x+16，
∴x=−135；
（2）7+0.3x−0.20.2=1.5−5x0.5．
整理得：70+15x﹣10＝30﹣100x，
∴115x＝﹣30，
∴x=−623．
【点评】本题考查了解一元一次方程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
五．看错类---将错就错来改错
14．王聪在解方程x+a3−1=2x−13去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x＝2，你能正确求出原先这个方程的解吗？
试题分析：去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，即x+a﹣1＝2x﹣1，此方程的解为x＝2，代入可先求得a．再把a＝2代入已知方程，从而求出原方程的解．
答案详解：解：由题意可得：x+a﹣1＝2x﹣1
把x＝2代入得出方程：2+a﹣1＝2×2﹣1
解得：a＝2，
再把a＝2代入已知方程
去分母可得：x+2﹣3＝2x﹣1，
解得x＝0．
【点评】本题考查解一元一次方程的知识，中间结合很多知识点，注意审清题意．
15．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程2x−13=x+a2−1去分母时由于粗心，方程右边的﹣1没有乘6而得到错解x＝4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
试题分析：先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解．
答案详解：解：∵方程右边的﹣1忘记乘6，求出的解为x＝4，
∴2（2×4﹣1）＝3（4+a）﹣1，
解得a＝1，
则原方程为：2x−13=x+12−1，
去分母，得
4x﹣2＝3x+3﹣6，
移项、合并同类项，得
x＝﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号，本题先根据错误的思路列式求出a的值是解题的关键．
16．晶晶在解关于x的方程ax−12+6=2+x3时，把6错写成1，解得x＝1，并且晶晶在解题中没有错误，请你正确求出此方程的解．
试题分析：将x＝1代入方程ax−12+6=2+x3求得a的值，然后解方程即可．
答案详解：解：∵解关于x的方程ax−12+6=2+x3时，把6错写成1，解得x＝1，
∴把x＝1代入ax−12+1=2+x3，
解得：a＝1，
所以原方程变为x−12+6=2+x3，
解得：x＝﹣29．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，首先根据题意正确的求得a的值是解决本题的关键．
六．解的关系---先求解。
17．已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程2x−12=x+a3−a的解的和为114，求a的值．
试题分析：首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是114，列方程求得a的值．
答案详解：解：解2x﹣a＝1得x=a+12，
解2x−12=x+a3−a，得x=3−4a4．
由题知a+12+3−4a4=114，解得a＝﹣3．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，正确解关于x的方程是解决本题的关键．
18．求当m为何值时，关于x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比x2=x﹣m的解多2？
试题分析：分别解两个方程求得方程的解，然后根据x的方程2x﹣2m＝3x﹣1的解比x2=x﹣m的解大2，即可列方程求得m的值．
答案详解：解：解方程2x﹣2m＝3x﹣1得到：x＝1﹣2m．
解方程x2=x﹣m得到：x＝2m．
依题意得：1﹣2m﹣2m＝2，
解得m=−14．
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
19．已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程4y−15=2y+13−0.6的解互为倒数，求m的值．
试题分析：首先解两个关于x的方程，求得x的值，然后根据两个方程的解互为相反数即可列方程求解．
答案详解：解：第一个方程的解x=−53m，第二个方程的解y＝﹣0.5，
因为x，y互为倒数，所以−53m＝﹣2，所以m=65．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确解关于x的方程是解决本题的关键．
20．已知方程3y﹣2＝6y+1的解与关于x的方程4x+2m＝3x+1的解互为相反数，求m的值．
试题分析：求出第一个方程的解得到y的值，求出相反数代入第一个方程即可求出m的值．
答案详解：解：解方程3y﹣2＝6y+1，得y＝﹣1，
因为方程3y﹣2＝6y+1的解与关于x的方程4x+2m＝3x+1的解互为相反数，
所以方程4x+2m＝3x+1的解为x＝1，
把x＝1代入方程4x+2m＝3x+1，得：
4+2m＝3+1，
解得m＝0．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
七．同解方程钥匙---解（解相同，新方程）
21．如果方程x−43−8=x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a2﹣a的值．
试题分析：先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可．
答案详解：解：解方程x−43−8=x+22得：x＝﹣62，
将x＝﹣62代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：﹣248﹣3a﹣1＝﹣372+2a﹣1，
解得：a=1245，
∴a2﹣a＝（1245）2﹣（1245）=1475625．
【点评】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键．
22．如果方程3（x﹣1）﹣2（x+1）＝﹣3和2x−13−x+a2=1的解相同，求出a的值．
试题分析：求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可．
答案详解：解：方程3（x﹣1）﹣2（x+1）＝﹣3，
去括号得：3x﹣3﹣2x﹣2＝﹣3，
解得：x＝2，
把x＝2代入方程2x−13−x+a2=1得：1−2+a2=1，
解得：a＝﹣2．
【点评】此题考查了同解方程，同解方程即为两方程解相同的方程．
八．方程综合提高
23．已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求出y的值；
（3）若数a满足|a|≤|m|，试化简：|a+m|+|a﹣m|．
试题分析：（1）根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于0求解；
（2）根据绝对值意义转化为两个方程求解；
（3）确定a的范围，去绝对值合并．
答案详解：解：（1）−2=1，
∴m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3；
（2）|y﹣m|＝3，
即|y+3|＝3，
∴y+3＝3或y+3＝﹣3，
∴y＝0或﹣6；
（3）|a|≤|m|，即|a|≤3，
∴﹣3≤a≤3，
∴a+m≤0，a﹣m≥0，
∴|a+m|+|a﹣m|
＝﹣a﹣m+a﹣m
＝﹣2m＝6．
【点评】本题考查一元一次方程意义和绝对值意义．确定绝对值内代数式符号是解答关键．
24．（1）小玉在解方程2x−13=x+a2−1去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x＝10，试求a的值．
（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？
试题分析：（1）把x＝10代入错误的去分母得到的方程，求出a的值即可；
（2）表示出两方程的解，由题意求出m的值即可．
答案详解：解：（1）错误去分母得：4x﹣2＝3x+3a﹣1，
把x＝10代入得：a＝3；
（2）方程5m+3x＝1+x，解得：x=1−5m2，
方程2x+m＝5m，解得：x＝2m，
根据题意得：1−5m2−2m＝2，
去分母得：1﹣5m﹣4m＝4，
解得：m=−13．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
九．阅读题--紧扣例子，化归思想
25．已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝　11　和x2＝　211　；
（2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
试题分析：（1）根据上述的结论方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c，即可猜想得到答案；
（2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣1+2x−1=11+211，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1=211，进一步求得方程的解．
答案详解：解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2=211；

（2）原方程可以变形为x﹣1+2x−1=11+211，
则x﹣1＝11，x﹣1=211．
则x1＝12，x2=1311．
【点评】此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度．
26．阅读理解学：
我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：
问题：利用一元一次方程将0.7⋅化成分数．
设0.7⋅=x．
由0.7⋅=0.7777…，可知10×0.7⋅=7777…＝7+0.7777…＝7+0.7⋅，
即10x＝7+x．
可解得x=79，即0.7⋅=79．
（1）将0.5⋅直接写成分数形式为 　59　．
（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
①0.2⋅7⋅；
②0.13⋅6⋅．
试题分析：（1）根据题目给的例题，首先设0.5⋅=x，列出方程10x＝5+x，解出x；
（2）①根据题目给的例题，首先设0.2⋅7⋅=y，列出方程100y＝27+y，解出y；
②首先把0.13⋅6⋅写成0.1+0.03⋅6⋅，再设0.03⋅6⋅=n，列出方程100n＝3.6+0.03⋅6⋅，解出n，从而求出最后结果．
答案详解：（1）设0.5⋅=x，
根据题意得，10x＝5+x，
解得x=59，
所以答案是：59；
（2）①设0.2⋅7⋅=y，
根据题意得，100y＝27+y，
解得y=311；
∴0.2⋅7⋅=311；
②∵0.13⋅6⋅=0.1+0.03⋅6⋅，
设0.03⋅6⋅=n，
∴100n＝3.6+0.03⋅6⋅，
∴100n＝3.6+n，
解得n=255．
∴0.13⋅6⋅=0.1+255=322．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤，对材料的理解及列出方程是解题关键．