2022北京清华附中高一（上）期末数学（教师版）

2022北京清华附中高一（上）期末

数    学

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，，则                          

A． B．

C． D．

2．已知命题，则是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是

A． B． C． D．

5．已知是函数的反函数，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．10 D．100

6．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（       ）

A． B． C． D．

7．已知．则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（       ）

A． B． C． D．

9．已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为

A． B． C． D．

10．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知，则的值为___________.

12．已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.

13．已知表示，，…，这个数中最大的数.能够说明“，，c，，”是假命题的一组整数，，，的值依次为___________.

14．已知函数，给出下列四个命题：

①函数是周期函数；

②函数的图象关于点成中心对称；

③函数的图象关于直线成轴对称；

④函数在区间上单调递增.

其中，所有正确命题的序号是___________.

三、双空题

15．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.

四、解答题

16．求下列关于的不等式的解集：

(1)；

(2)

17．己知集合，，其中且

(1)当时，求及；

(2)若集合且，求的取值范围.

18．已知函数.

(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数在区间在区间上的最大值和最小值.

19．已知函数.

(1)若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

20．已知，，，.

(1)求的值；

(2)求的值：

(3)求的值.

21．己知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.

(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：

(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；

(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.

2022北京清华附中高一（上）期末数学

参考答案

1．C

【解析】

【详解】

因为集合，,

所以,

故选C.

2．C

【解析】

【分析】

由全称命题的否定是特称命题即可得结果.

【详解】

由全称命题的否定是特称命题知：，，

是，，

故选：C.

3．C

【解析】

根据函数的性质，指对数先和0，1比较大小，再比较的大小.

【详解】

由函数单调性可知，，

，，

所以.

故选：C

4．A

【解析】

【详解】

最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.

故选A

5．A

【解析】

【分析】

根据给定条件求出的解析式，再代入求函数值作答.

【详解】

因是函数的反函数，则，，

所以的值为0.

故选：A

6．A

【解析】

根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.

【详解】

因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，

所以，则.

故选：A.

【点睛】

当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.

7．A

【解析】

【分析】

求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.

【详解】

，，

则或，

由得，

由得，

显然，，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.

8．D

【解析】

【分析】

根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.

【详解】

由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，

又因为，所以，，整理可得，

因为且，解得.

故选：D.

9．B

【解析】

【详解】

由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是 ，故，故

，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果 ，根据，得到

故答案为B．

点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法．

10．B

【解析】

【分析】

根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.

【详解】

因函数的值域是，于是得函数的值域是，

因存在实数，使得，则，

因此，，解得，

所以的取值范围是.

故选：B

11．##

【解析】

【分析】

根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.

【详解】

因，则，

所以的值为.

故答案为：

12．

【解析】

【分析】

作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.

【详解】

由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，

当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，

在坐标平面内作出函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，

所以实数的取值范围是：.

故答案为：

13．2，1，-1，-2

【解析】

【分析】

根据给定条件不妨规定a，b，c，d的大小，确定命题为真的条件即可推理作答.

【详解】

依题意，不妨令，则有，，，

则原命题等价于，因此当时，不等式不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，

所以，所求的一组整数，，，的值依次为：2，1，-1，-2.

故答案为：2，1，-1，-2

14．①②③

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答.

【详解】

依题意，，因，是周期函数，是它的一个周期，①正确；

因，，

即，因此的图象关于点成对称中心，②正确；

因，，

即，因此的图象关于直线成轴对称，③正确；

因，，，

显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，④不正确，

所以，所有正确命题的序号是①②③.

故答案为：①②③

【点睛】

结论点睛：函数的定义域为D，，

(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.

(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.

15．         

【解析】

【分析】

利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.

【详解】

因函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

即有当时，，而当时，，当时，，则，

所以函数的最大值为，最小值为.

故答案为：；

16．(1)或；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；

（2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.

(1)

解：由得，解得或，

故不等式的解集为或.

(2)

解：当时，原不等式即为，该不等式的解集为；

当时，，原不等式即为.

①若，则，原不等式的解集为或；

②若，则，原不等式的解集为或.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为或.

17．(1)，；

(2).

【解析】

【分析】

（1）当时，解出集合、，利用交集和并集的定义可求得集合及；

（2）解出集合，分、两种情况讨论，解出集合，由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

(1)

解：当时，由可得，解得，即，

因为，故，.

(2)

解：由得，即，所以，.

当时，，此时；

当时，，

由可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

18．(1)函数的最小正周期为，单调递增区间为；

(2)最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；

（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值.

(1)

解：因为

.

所以，函数的最小正周期为，

由，解得，

因此，函数的单调递增区间为.

(2)

解：因为，所以，，

所以，当时，函数取最小值，即，

当时，函数取最大值，即.

19．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.

(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.

(1)

因函数的图象恒在直线上方，即，，

于是得，解得，

所以实数的取值范围是：.

(2)

依题意，，，

令，，

令函数，，，

，而，即，，

则有，即，于是得在上单调递增，

因此，，，即，从而有，则，

所以实数的取值范围是.

20．(1)；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.

（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.

(1)

由题设，，，

∴，，

又.

(2)

.

(3)

由，则，

由，则，

∴，，又，，则，

∴，而，故.

21．(1)不是，理由见解析；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.

(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.

(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.

(1)

假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，

即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，

而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，

所以函数不是 “自均值函数”.

(2)

依题意，存在，对于，存在，有，即，

当时，的值域是，因此在的值域包含，

当时，而，则，

若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，

于是得，，要在的值域包含，

则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，

从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，

所以的取值范围是.

(3)

依题意，存在，对于，存在，有，即，

当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，

当时，在单调递增，在的值域是，

由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，

当时，函数的对称轴为，

当，即时，在单调递增，在的值域是，

由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，

当，即时，，，，，

由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，

由且得，，此时a的值不唯一，不符合要求，

综上得：，

所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是.

【点睛】

结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.